数论小总结『杂』

常见的数论函数

• 恒等函数： \(I(n) = 1\)

• 元函数： \(\epsilon(n) = [n = 1]\)

• 单位函数： \(id(n) = n\)

• 除数函数：输出函数用 \(\sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的 \(k\) 次方的的和，即 \(\sigma_k(n) = \sum\limits_{d | n} d^k\)。

  • 约数个数函数，即 \(\sigma_0(n)\)，通常用 \(d(n)\) 表示： \(d(n) = \sum\limits_{d | n} 1\)

  • 约数和函数，即 \(\sigma_1(n)\)，通常用 \(\sigma(n)\) 表示： \(\sigma(n) = \sum\limits_{d | n}d\)

• 欧拉函数： \(\varphi(n)\) 表示不大于 \(n\) 且与 \(n\) 互质的正整数个数。（注：\(\varphi(1) = 1\)）

• 莫比乌斯函数：

\[\mu(n)=\left\{ \begin{aligned} & 1 && n = 1 \\ & (-1)^s && n = p_1p_2p_3···p_s \\ & 0 && otherwise \end{aligned} \right. \]

附线性筛欧拉函数和莫比乌斯函数的代码：

inline void euler(){
    phi[1] = mu[1] = 1;
    for(ll i = 2; i < N; ++i){
        if(!vis[i]) phi[i] = i - 1, mu[i] = -1, p[++tot] = i;
        for(ll j = 1; j <= tot && i * p[j] < N; ++j){
            vis[i * p[j]] = 1;
            if(i % p[j] != 0) phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1), mu[i * p[j]] = -mu[i];
            else{
                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j], mu[i * p[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}

\(Dirichlet\) 卷积

设 \(f\)，\(g\) 是数论函数。

\[h(n) = \sum\limits_{d | n}f(d)g(\frac nd) \]

同样也可以写成：

\[h(n) = \sum\limits_{d | n}f(\frac nd)g(d) \]

则称 \(h\) 为 \(f\) 与 \(g\) 的 \(Dirichlet\) 卷积，记为：\(h = f * g\)

一些性质

• 交换律： \(f * g = g * f\)
• 结合律： \((f * g) * h = f * (g * h)\)
• 分配律： \((f + g) * h = f * h + g * h\)

一些小结论

• \[n = \sum\limits_{d | n}\varphi(d) \]

• \[d(ij) = \sum\limits_{x | i}\sum\limits_{y | j}[gcd(x, y) = 1] \]

• \[\sum\limits_{d | n}\mu(d) = [n = 1] \]
  这条性质也可以用卷积的形式来写： \(\mu * I = \epsilon\)

• \[f * \epsilon = f \]