深入浅出统计学读书笔记：离散概率分布的应用

概率可以得知发生某件事情的可能性大小，但无法指出整体影响，比如赚到的钱真的填的平那些亏掉的钱吗

概率分布如下表：

组合	无	柠檬	樱桃	美元/樱桃	美元
x	-1	4	9	14	19
P(X=x)	0.977	0.008	0.008	0.006	0.001

期望E(X) = -0.77 ，指出每一局赌局能够期望得到的平均收益

方差Var(X) = E(X - μ)²  = ∑(x - μ)²P(X = x)  = 2.6971，体现出每一局赌局有可能存在的收益变化

标准差为方差的平方根，度量数据与数据中心的期望距离，标准差 = 1.642，表示从平均情况看来，我们的每一局收益与期望收益之间的距离为1.642

现在原先的概率分布变了，赌金改为2元，赢金翻了5倍，新概率分布如下：

y	-2	23	48	73	98
P(Y = y)	0.977	0.008	0.008	0.006	0.001

E(Y) = -0.85

Var(Y) = 67.4275

现收益 Y = 5X + 3

线性变换推广：

E(aX + b) = aE(X) + b

Var(aX + b) = a² Var(X)

多玩几局：

每一局称为一个事件，每一局的结果称为一个观测值

我们把第一个观测值称为X_1，第二个观测值称为X2

求两局的期望和方差，即求  X₁ +  X₂  的期望和方差

独立同分布观测值推广：

E(X₁ + X₂ + ... Xn) = nE(X)

Var(X₁ + X₂ + ... Xn) = nVar(X)

在两台机器上玩：

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

独立不同分布推广：

随机变量相减

E(X - Y) = E(X) - E(Y)

Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)  这是因为差异性增大了

最终结论，在X与Y相互独立时：

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) 

Var(aX + bY) = a² Var(X) + b² Var(Y)

E(aX - bY) = aE(X) - bE(Y) 

Var(aX - bY) = a² Var(X) + b² Var(Y)