#4155. 咱们去烧菜吧

题意
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你有 $m$ 种物品，第 $i$ 种物品的大小为 $a_i$，数量为 $b_i$（$b_i=0$ 表示有无限个）。

你还有 $n$ 个背包，体积分别为 $1$ 到 $n$，现在你很想知道用这些物品填满某个背包的方案数。

为了满足你的好奇心，你决定把填满每个背包的方案数都算一遍。

因为你其实只是闲得无聊，所以你只想知道方案数对 $998244353$（$7 imes 17 imes 2^{23}+1$，一个质数）取模后的值。

$0< n,mle 10^5, 0le a_ile 110000,0le b_ile 10^6$。

题解

把第 $i$ 个物品的生成函数写出，设 $b_i>0$，即 $F_i(x)=sum_{j=0}^{b_i} x^{a_i imes j}=frac{1-x^{a_i imes (b_i+1)}}{1-x^{a_i}}$

那么当 $b_i=0$ 时， $F_i(x)=sum_{j=0}^{infty} x^{a_i imes j}=frac{1}{1-x^{a_i}}$

则最后的答案的生成函数 $G(x)=prod_{i=1}^nF_i(x)$

两边取对数，即 $ln G(x)=ln (prod_{i=1}^nF_i(x))=sum_{i=1}^n ln F_i(x)=sum_{i=1}^n(ln (1-x^{a_i imes (b_i+1)})-ln(1-x^{a_i}))$

又知道 $ln(1-x^k)=sum_{i=1}^{infty} frac{x^{i imes k}}{i}$

所以对于每个 $k$ ，都会对 $x^{i imes k}$ 的系数造成影响，所以这一部分可以 $O(nln n)$ 预处理

所以最后做个多项式 $exp$ 即可

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define I inline
using namespace std;
const int P=998244353,N=5e5+5;
int n,m,a[N],b[N],r[N],t,p,G[2]={3,332748118};
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N],F[N],jc[N],ny[N];
I int X(int x){if (x>=P) x-=P;return x;}
I int inv(int x){return 1ll*jc[x-1]*ny[x]%P;}
I int K(int x,int y){
    int A=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) A=1ll*A*x%P;
    return A;
}
I void Ntt(int *g,bool o){
    for (int i=0;i<t;i++)
        if (i<r[i]) swap(g[i],g[r[i]]);
    for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){
        wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1));
        for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1))
            for (int w=1,k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P)
                x=g[j+k],y=1ll*w*g[i+j+k]%P,
                g[j+k]=X(x+y),g[i+j+k]=X(x-y+P);
    }
    if (o)
        for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++)
            g[i]=1ll*v*g[i]%P;
}
I void dao(int *a,int *b,int l){
    for (int i=1;i<l;i++)
        b[i-1]=1ll*i*a[i]%P;
    b[l]=b[l-1]=0;
}
I void jifen(int *a,int *b,int l){
    for (int i=1;i<l;i++)
        b[i]=1ll*a[i-1]*inv(i)%P;
    b[0]=0;
}
I void pre(int l){
    for (t=1,p=0;t<l+l;t<<=1,p++);
    for (int i=0;i<t;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}
I void getinv(int *a,int *b,int l){
    if (l==1){
        b[0]=K(a[0],P-2);return;
    }
    getinv(a,b,(l+1)>>1);
    for (int i=0;i<l;i++)
        A[i]=a[i],B[i]=b[i];
    pre(l);Ntt(A,0);Ntt(B,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P*B[i]%P;
    Ntt(A,1);for (int i=0;i<l;i++)
        b[i]=X(X(b[i]+b[i])-A[i]+P);
    for (int i=0;i<t;i++) A[i]=B[i]=0;
}
I void getln(int *a,int *b,int l){
    dao(a,C,l);getinv(a,D,l);
    pre(l);Ntt(C,0);Ntt(D,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        C[i]=1ll*C[i]*D[i]%P;
    Ntt(C,1);jifen(C,b,l);
    for (int i=0;i<t;i++) C[i]=D[i]=0;
}
I void getexp(int *a,int *b,int l){
    if (l==1){b[0]=1;return;}
    getexp(a,b,(l+1)>>1);
    for (int i=0;i<l;i++) E[i]=b[i];
    getln(b,F,l);
    for (int i=0;i<l;i++)
        F[i]=X(a[i]-F[i]+P);
    F[0]=X(F[0]+1);pre(l);
    Ntt(F,0);Ntt(E,0);
    for (int i=0;i<t;i++)
        E[i]=1ll*E[i]*F[i]%P;
    Ntt(E,1);
    for (int i=0;i<l;i++) b[i]=E[i];
    for (int i=0;i<t;i++) E[i]=F[i]=0;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int x,y,i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if (x<=n) a[x]++;
        if (y && 1ll*x*(y+1)<=1ll*n)
            a[x*(y+1)]--;
    }
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
    ny[n]=K(jc[n],P-2);
    for (int i=n;i;i--)
        ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!a[i]) continue;
        if (a[i]<0) a[i]+=P;
        for (int j=1;j*i<=n;j++)
            b[i*j]=X(b[i*j]+1ll*a[i]*inv(j)%P);
        a[i]=0;
    }
    getexp(b,a,n+1);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d
",a[i]);
    return 0;
}