洛谷P3158 [CQOI2011]放棋子

题目描述

题解

考虑 $ ext{dp}$ ： $f[i][j][k]$ 表示用前 $k$ 种棋子占领了 $i$ 行 $j$ 列的方案数

考虑 $f$ 的转移： $f[i][j][k]=sum_{l=0}^{i-1}sum_{r=0}^{j-1}f[l][r][k-1] imes (_{i-l}^{n-l}) imes (_{j-r}^{m-r}) imes g[i-l][j-l][a[k]]$ ，其中 $g[i][j][k]$ 表示用 $k$ 个同种颜色的棋子占领 $i$ 行 $j$ 列的方案数

考虑 $g$ 的转移，发现我们可以容斥，即用总方案数-有些行列没有被占领的方案数，故 $g[i][j][k]=(_k^{i*j})-sum_{l=1}^{i}sum_{r=1}^{j} [l<i || r<j] imes g[l][r][k] imes (_l^i) imes (_r^j)$

答案即为： $sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mf[i][j][c]$ ，效率： $O(n^2m^2c)$

代码

#include <cstdio>
const int P=1e9+9;
int n,m,c,a[15],f[35][35][15],g[35][35][15],jc[905],ny[905],A;
int C(int x,int y){
    if (x<y) return 0;
    return 1ll*jc[x]*ny[y]%P*ny[x-y]%P;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&c);jc[0]=ny[n*m]=f[0][0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n*m;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P;
    for (int y=P-2,x=jc[n*m];y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)
        if (y&1) ny[n*m]=1ll*ny[n*m]*x%P;
    for (int i=n*m;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P;
    for (int i=1;i<=c;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int k=1;k<=c;k++){
        for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++){
            g[i][j][k]=C(i*j,a[k]);
            for (int l=1;l<=i;l++) for (int r=1;r<=j;r++) if (l<i || r<j)
                (g[i][j][k]-=1ll*g[l][r][k]*C(i,l)%P*C(j,r)%P)%=P;
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++)
            for (int l=0;l<i;l++) for (int r=0;r<j;r++)
                (f[i][j][k]+=1ll*f[l][r][k-1]*C(n-l,i-l)%P*C(m-r,j-r)%P*g[i-l][j-r][k]%P)%=P;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=m;j++) (A+=f[i][j][c])%=P;
    return printf("%d
",(A+P)%P),0;
}