最长公共子序列相关

最长公共子序列LCS

采用动态规划的方法:

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

计算LCS长度的伪代码如下:

利用数组b构造LCS如下:

代码如下:

int lcseq_length(char* A,char *B,int **c,int **b){
    int lenA=strlen(A),
        lenB=strlen(B);
    for(int i=1;i<=lenA;i++)
        c[i][0]=0;
    for(int j=1;j<=lenB;j++)
        c[0][j]=0;
    for(int i=1;i<=lenA;i++){
        for(int j=1;j<=lenB;j++){
            if(A[i-1]==B[j-1]){
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                b[i][j]=1;
            }
            else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) {
                c[i][j]=c[i-1][j];
                b[i][j]=2;
            }
            else{
                c[i][j]=c[i][j-1];
                b[i][j]=3;
            }
        }
    }
    return c[lenA][lenB];
}
void print_lcseq(char *A,int **c,int**b,int i,int j){
    if(i==0||j==0)
        return ;
    if(b[i][j]==1){
        print_lcseq(A,c,b,i-1,j-1);
        printf("%c",A[i-1]);
    }
    else if(b[i][j]==2){
        print_lcseq(A,c,b,i-1,j);
    }
    else 
        print_lcseq(A,c,b,i,j-1);
}
//寻找最长公共子序列
void find_lcseq(char *A,char *B){
    int lenA=strlen(A),
        lenB=strlen(B);
    int **c=new int*[lenA+1];
    int **b=new int*[lenA+1];
    for(int i=0;i<=lenA;i++){
        c[i]=new int[lenB+1]();//申请空间，同时初始化为0
        b[i]=new int[lenB+1]();
    }
//计算LCS的长度，保存在数组c中，b中信息是为了便于输出LCS，其实不需要b也可以输出LCS
    lcseq_length(A,B,c,b);
    //利用b输出LCS
    print_lcseq(A,c,b,lenA,lenB);
    printf("\n");
    for(int i=0;i<=lenA;i++){
        delete[] c[i];
        delete[] b[i];
    }
    delete[] c;
    delete[] b;
    
}

最长公共子串:

与上面不同的是, 这儿要求元素是连续的.

下面是字符串21232523311324和字符串312123223445的匹配矩阵，前者为X方向的，后者为Y方向的。不难找到，红色部分是最长的匹配子串。通过查找位置我们得到最长的匹配子串为：21232

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

但是在0和1的矩阵中找最长的1对角线序列又要花去一定的时间。通过改进矩阵的生成方式和设置标记变量，可以省去这部分时间。下面是新的矩阵生成方式：

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0

1 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 3 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 4 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 5 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

当字符匹配的时候，我们并不是简单的给相应元素赋上1，而是赋上其左上角元素的值加一。我们用两个标记变量来标记矩阵中值最大的元素的位置，在矩阵生成的过程中来判断当前生成的元素的值是不是最大的，据此来改变标记变量的值，那么到矩阵完成的时候，最长匹配子串的位置和长度就已经出来了。

代码如下:

//寻找最长公共子串
void find_lcstr(char* A,char *B){
    int lenA=strlen(A),
        lenB=strlen(B);
    int len=0,end=-1;
    //同样利用二维数组c
    int **c=new int*[lenA+1];
    for(int i=0;i<=lenA;i++){
        c[i]=new int[lenB+1]();
    }
//计算最长公共子串的长度，保存在c数组中
    for(int i=1;i<=lenA;i++){
        for(int j=1;j<=lenB;j++){
            if(A[i-1]==B[j-1]){
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            }
            if(c[i][j]>len){
                len=c[i][j];
                end=j;
            }
        }
    }
    int start=end-len+1;
    for(int i=start;i<=end;i++)
        printf("%c",B[i-1]);
    printf("\n");
    for(int i=0;i<=lenA;i++){
        delete[] c[i];
    }
    delete[] c;
}

一个改进的方法, 降低空间复杂度:

//改进的寻找最长公共子串的方法：降低空间复杂度
void find_lcstr2(char* A,char *B){
    int lenA=strlen(A),
        lenB=strlen(B);
    int len=0,end=-1;
    //利用一维数组计算公共子串的长度
    int *c=new int[lenB]();
    for(int i=0;i<lenA;i++){
        for(int j=lenB-1;j>=0;j--){
            if(A[i]==B[j])
            {
                if(j==0||i==0)
                    c[j]=1;
                else
                    c[j]=c[j-1]+1;
            }
            else
                c[j]=0;
            if(c[j]>len){
                len=c[j];
                end=j;
            }
        }
    }
    int start=end-len+1;
    for(int i=start;i<=end;i++)
        printf("%c",B[i]);
    delete[] c;

}

最长递增子序列

对序列X进行排序得到X’, 然后求X和X’的最长公共子序列就得到了该序列的最长单调递增子序列.

下面是编程之美给出的计算LIS长度的方法:

下面的代码可以打印出对应的序列:

int lis_length(int *A,int len){
//    int len=strlen(A);
    int *mem=new int[len]();
    int *indx=new int[len]();
    int count,last;
    mem[0]=1;
    indx[0]=0;
    count=1;
    last=-1;
    for(int i=1;i<len;i++){
        mem[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(A[j]<A[i]&&mem[j]+1>mem[i]) {
                mem[i]=mem[j]+1;
                indx[mem[j]-1]=j;
                count=mem[j];
                last=i;
            }
        }
    }
    indx[count++]=last;
    for(int i=0;i<count;i++)
        printf("%d ",indx[i]);
    printf("\n");
    for(int i=0;i<count;i++)
        printf("%d ",A[indx[i]]);

    return 0;
}
int main(){
    int arr[]={100,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
    int n=8;
    lis_length(arr,n);

}