算法笔记 #002# 最大子数组问题

留着备用。

js代码：

            class MaxSub {
                // 解法1：动态规划 -- O(n)            
                static solve(arr, start, end) {
                    let s = []; // s[n]保存arr[start:n+1]的最大子段和
                    let b = []; // b[n]保存由从arr[n]开始到arr[start]的逆向最大和
                    s[start] = {
                        sum: arr[start],
                        start: start,
                        end: start + 1
                    }; // 当数组只有一个元素的时候，最大子段和只能是这个元素                    
                    b[start] = CommonUtil.lightCopy(s[start]);
                    
                    for (let i = start + 1; i != end; ++i) {
                        // b[i] = max(b[i-1]+arr[i], arr[i])
                        if (b[i - 1].sum + arr[i] > arr[i]) {                
                            b[i] = CommonUtil.lightCopy(b[i - 1]);                            
                            b[i].sum += arr[i];
                        } else {
                            b[i] = {sum: arr[i], start: i};
                        }        
                        b[i].end = i + 1;
                        
                        // s[i] = max(s[i-1], b[i])
                        s[i] = CommonUtil.lightCopy(
                            s[i - 1].sum >= b[i].sum ? s[i - 1] : b[i]
                        );    
                    }
                    // 证明：假设s[n]是截至arr[n]的最大子段和（包括arr[n]）
                    // 当考察s[n+1]时，相当于往原序列添加一个新元素arr[n+1] 
                    // 结果是生成了arr[0..n+1],arr[1..n+1]等n+1个新序列
                    // 我们选取这些新序列中最大的,即从arr[n+1]开始的"逆向最大和",
                    // 与旧序列的最大子段和s[n]比较，s[n+1]取两者中更大的一个
                    // （其实就是在新和旧之间决策），因为考虑了所有可能的情况，
                    // 并且是大中选大，所以s[n+1]是截至arr[n+1]的最大子段和。            
                    // 思路：先考虑一个元素的情况，显然最大子段和只能是那个元素
                    // 然后考虑2个元素的情况（在原基础上增加1个），要么仍是第
                    // 一个元素，要么就是逆向最大和，继续增加元素考虑，发现都是
                    // 反复在做同样的决策....                    
                    return s[end - 1];                    
                }
                
                // 解法2：暴力求解 -- O(n^2)    
                static solve2(arr, start, end) {
                    let result = {
                        sum: -Infinity,
                        start: start,
                        end: end
                    };
                    
                    for (let i = start; i != end; ++i) {
                        let temp = {
                            sum: 0,
                            start: i
                        };
                        for (let j = i; j != end; ++j) {
                            temp.sum += arr[j];
                            temp.end = j + 1; 
                            if (temp.sum > result.sum) {
                                result = CommonUtil.lightCopy(temp);
                            }
                        }
                    }
                    
                    return result;
                }
                
                // 解法3：递归（分治） -- O(nlgn),来自算法导论
                static solve3(arr, start, end) {
                    function findMaxCrossingSubarray(arr, start, mid, end) {
                        let leftSum = -Infinity;
                        let sum = 0;
                        let maxLeft; // 开始下标
                        for (let i = mid - 1; i >= start; --i) {
                            sum = sum + arr[i];
                            if (sum > leftSum) {
                                leftSum = sum;
                                maxLeft = i;
                            }
                        }
                        
                        let rightSum = -Infinity;
                        sum = 0;
                        let maxRight; // 结束下标
                        for (let j = mid; j != end; ++j) {
                            sum = sum + arr[j];
                            if (sum > rightSum) {
                                rightSum = sum;
                                maxRight = j;
                            }
                        }
                        
                        return {
                            sum: leftSum + rightSum,
                            start: maxLeft,
                            end: maxRight + 1
                        };
                    }
                    
                    if (start + 1 == end) { // base case
                        return {
                            sum: arr[start],
                            start: start,
                            end: end
                        };
                    } else {
                        let mid = Math.floor((start + end) / 2);
                        let leftResult = MaxSub.solve3(arr, start, mid);
                        let rightResult = MaxSub.solve3(arr, mid, end);
                        let crossResult = findMaxCrossingSubarray(arr, start, mid, end);
                        
                        let finalResult = {
                            sum: -Infinity,
                        };
                        
                        if (leftResult.sum > finalResult.sum) finalResult = CommonUtil.lightCopy(leftResult);
                        if (rightResult.sum > finalResult.sum) finalResult = CommonUtil.lightCopy(rightResult);
                        if (crossResult.sum > finalResult.sum) finalResult = CommonUtil.lightCopy(crossResult);
                        
                        return finalResult;
                    }
                }
                
                static run(data) {
                    let arr = CommonUtil.handleData(data);
                    let result = MaxSub.solve(arr, 0, arr.length);
                    // console.log(result);
                    console.log(arr.slice(result.start, result.end));
                    console.log(`max_sum = ${result.sum}`);
                }
            }

数组长度为20实测（各跑100次）↓

数组长度为100实测（各跑100次）↓

数组长度为500实测（各跑100次）↓