最短路径—Dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画过程如下图

3.算法代码实现：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
  　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
      int n=MAXNUM;
  　　for(int i=1; i<=n; ++i)
 　　 {
      　　dist[i] = A[v0][i];
      　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
      　　if(dist[i] == MAXINT)    
            　　prev[i] = -1;
 　　     else 
            　　prev[i] = v0;
   　　}
   　 dist[v0] = 0;
   　 S[v0] = true; 　　
 　　 for(int i=2; i<=n; i++)
 　　 {
       　　int mindist = MAXINT;
       　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
      　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
      　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
      　　    {
         　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 
         　 　      mindist = dist[j];
       　　   }
       　　S[u] = true; 
       　　for(int j=1; j<=n; j++)
       　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
       　　    {
           　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径  
           　    　{
                   　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist 
                   　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点 
            　　    }
        　    　}
   　　}
}

4.算法实例

先给出一个无向图

用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下

hdu-1874代码如下：

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1874

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXINT 2000010
#define N 210
int map[N][N],vis[N],dist[N];
int m,n,start,end;
void dijkstra()
{
    int i,j,u,min;
    memset(vis,0,sizeof(vis));    
    for(i=0;i<n;i++)
    dist[i]=map[start][i];
    dist[start]=0;
    vis[start]=1;   
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        min=MAXINT;
        for(j=0;j<n;j++)//寻找下一个符合条件的节点 
        if((!vis[j])&&dist[j]<min)
        {
            min=dist[j];
            u=j;
        }
        vis[u]=1;
        for(j=0;j<n;j++)//更新 dist[]，即更新最短距离 
        {
            if((!vis[j])&&(dist[j]>(dist[u]+map[u][j])))
            dist[j]=dist[u]+map[u][j];
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
    {
        int i,j,a,b,c;
        for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        map[i][j]=MAXINT;
        for(i=0;i<n;i++)
        dist[i]=MAXINT;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            if(c<map[a][b])//如果有重边，则保存权值最小的 
            map[a][b]=map[b][a]=c;
        }
        scanf("%d %d",&start,&end);
        dijkstra();
        if(dist[end]==MAXINT)
        printf("-1
");
        else  
        printf("%d
",dist[end]);
    }
    return 0;
}

hdu-2544，与上题类似，没有上一题测试数据严密，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 1000000
int map[110][110],vis[110],dist[110];
int n;
void dijkstra()
{
    int i,j,u,min;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=1;i<=n;i++)
    dist[i]=map[1][i];
    dist[1]=0;vis[1]=1;
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        min=MAX;
        for(j=1;j<=n;j++)
        if(!vis[j]&&dist[j]<min)
        {
            min=dist[j];
            u=j;
        }
        vis[u]=1;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!vis[j]&&dist[j]>(dist[u]+map[u][j]))
            dist[j]=dist[u]+map[u][j];
        }
    }
    printf("%d
",dist[n]);
}
int main()
{
    int m;
    while(scanf("%d %d",&n,&m),n||m)
    {
        int i,j,a,b,c;
        for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=n;j++)
        map[i][j]=MAX;
        for(i=0;i<=n;i++)
        dist[i]=MAX;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            if(c<map[a][b])
            map[a][b]=map[b][a]=c;
        }
        dijkstra();
    }
    return 0;
}

nyoj-115，也是最短路，dijkstra算法，代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 100000000
int map[1010][1010],vis[1010],dist[1010],s[110];
int m;
void dijkstra(int v)
{
    int i,j,u,min;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(i=1;i<=m;i++)
    dist[i]=map[v][i];
    dist[v]=0;vis[v]=1;
    for(i=1;i<=m-1;i++)
    {
        min=MAX;
        for(j=1;j<=m;j++)
        if(!vis[j]&&dist[j]<min)
        {
            min=dist[j];
            u=j;
        }
        vis[u]=1;
        for(j=1;j<=m;j++)
        if(!vis[j]&&dist[j]>(dist[u]+map[u][j]))
        dist[j]=dist[u]+map[u][j];
    }
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,p,q;
        int i,j,a,b,c,min;
        scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&p,&q);
        for(i=0;i<=m;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
        map[i][j]=MAX;
        for(i=0;i<=m;i++)
        dist[i]=MAX;
        for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&s[i]);
        for(i=0;i<p;i++)
        {
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            if(c<map[a][b])
            map[a][b]=map[b][a]=c;
        }
        dijkstra(q);
        min=dist[s[0]];
        for(i=1;i<n;i++)
        {
            if(dist[s[i]]<dist[s[i-1]])
            min=dist[s[i]];
        }
        printf("%d
",min);
    }
    return 0;
}