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  • PRML Chapter 8. Graphical Models 8.2.1 Three example graphs

    8.2.1 Three example graphs

    书中说明了三种基本条件独立的结构

    (1) tail-to-tail   (从a,b的角度看,a和b都是c的tail)

    如图 Figure 8.15


    整个图表示abc的联合概率 p(a,b,c),此时可以根据图8.15的结构推出 p(a,b,c) = p(a|c)p(b|c)p(c)

    如果同时两边对c取边缘概率(marginalizing both sides with respect to c),则可以得到式8.24

    通常情况下,式8.24右边那部分是不会等于p(a)*p(b)的,所以a,b是不相互独立的。

    但是如果c是作为输入而被已观察到了,情况就变成了图Figure 8.16


    此时,整个图如果要关心a,b之间的联合概率的话,就要表示成 p(a,b|c)了,因为c已被观察到,所以a,b之间的联合概率是基于c的条件概率。

    所以      因此由这个式子可以看出a,b是关于c条件独立的

    (2) head-to-tail  (从a,b的角度看,a是c的head,b是c的tail)

    如图 Figure 8.17  变化至  8.18

       ->        

    对于图8.17,

    两边对c取边缘概率得    所以a,b不独立。

    而对于图8.18,可知:

    ,因此图8.18中a与b相互独立。


    (3) head-to-head (从a,b的角度看,a和b都是c的head)

    如图8.19变化至8.20

     ->

            对于图8.19,p(a,b,c)=p(a)p(b)p(c|a,b),两边对c取边缘直接可以得到 p(a,b)=p(a)p(b),因此这个时候没有观察到c反而倒是a,b相互独立,而如果观察到c呢?就变成了图8.20中的p(a,b|c)=p(a,b,c)/p(c)=p(a)p(b)p(a,b|c)/p(c),不等于p(a|c)p(b|c),因此a和b反而不独立。

            由以上三个基本图可以看出,三个随机变量a,b,c的联合概率的分解方法实际上是和它们之间的依存关系有关的,不能随便分解,如果分解成p(a,b,c)=p(a,b|c)p(c),那么就默认了tail-to-tail这种结构,如果分解成其他,则有其他相应的结构。同样关于a,b,c三者之间的概率,不同结构下,观察到c的情况下,a与b可能独立,也可能不独立!

    P377

    提供了一个例子,说明head-to-head的情况下,两个图8.20中a,b是如何在已知c的情况下相互影响的。


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