初探微积分

说在前面

微积分由于刚刚学习，所以趁着有印象赶快整理下来
本文章适合入门，其实文章里面大部分都是有关于导数的内容，积分内容只有两个

平均变化率

概念：一般的，已知函数y=f（x），x0，x1是其定义域不同的两点，记作： (Delta) x=x1-x0
　　　(Delta)y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+(Delta)x）-f（x1）
　　　则当(Delta)x!=0时，商(dfrac {Delta y}{Delta x})=(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x})
　　　称函数y=f（x）在区间[x0,x0+(Delta)x](或[x0+(Delta)x,x0])的平均变化率

例题：1.求函数y=x^2在区间[x0,x0+(Delta)x]的平均变化率

　　　2.求函数y=(dfrac {1}{x})在区间[x0,x0+(Delta)x]的平均变化率

瞬时变化率

概念：当(Delta)x趋近于0时，平均变化率(dfrac {Delta y}{Delta x})=(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x})趋近于一个常数l
　　　那么称函数l为函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
记作：当(Delta)x ——> 0时，(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}) ——> l

　　　即(lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=l)

f（x）在点x0处的导数

概念：函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率
　　　通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作(f'left( x_{0} ight))
(lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=f'left( x_{0} ight))

导数定义

概念：如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的，称f（x）在区间（a，b）可导
　　　区间（a，b）的每个值都对应一个确定的导数(f'left( x ight))
　　　于是在区间（a，b）内，(f'left( x ight))可构成一个新函数
　　　称为y=f（x）的导函数，记作(f'left( x ight))通称导数
　　　
例题：1.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s
　　　试问熄火多长时间火箭上上速度为(0)
　　　
　　　2.圆S=π r^2，周长l=2πr求之间的关系

导数的几何意义

概念：通过直线和曲线图像我们可以得知两线有割线也有切线
　　　显然，我们可以知道割线的斜率就是平均变化率
　　　当割线成为切线的时候(Delta)x ——>(0)，割线斜率趋近于切线斜率
　　　
　　　即(lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=f'left( x_{0} ight))
　　　
例题：1.求抛物线(y=x^{2})在点（x0，f（x0））的导数的切线的斜率等于(f'left( x_{0} ight))

　　　2.求双曲线(y=dfrac {1}{x})在点（2,1/2）的切线方程

导数的运算

常值函数的导数：
　　　　　　　　　(y=fleft( x ight) equiv c)（c为常数）
　　　　　　　　　(y'=f'left( x ight) =C'=lim _{Delta x ightharpoonup 0}dfrac {c-c}{Delta x}=0)
根据以上的方法我们可以得到几个式子　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y=x　　　y'=x'=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(y=x^{2})　　　(y=left(x^{2} ight)'＝2x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(y=dfrac {1}{x})　　　(y'=-dfrac {1}{x^{2}})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(y=x^{3})　　　(y'=3x^{2})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(y=sqrt {x})　　　(y'=lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {sqrt {x_{0}+Delta }x-sqrt {x_{0}}}{Delta x})
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

基本初等函数的公示表

导数的四则运算

1.函数和或差的求法

(left[ fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight] '=f'left( x ight) pm g'left( x ight))

2.函数积的求法

(left[ tleft( x ight) cdot gleft( x ight) ight] '=f'left( x ight) cdot gleft( x ight) +g'left( x ight) cdot fleft( x ight))

3.函数商的求法

(left[ dfrac {fleft( x ight) }{gleft( x ight) } ight]' =dfrac {f'left( x ight) gleft( x ight) -fleft( x ight) g'left( x ight) }{g^{2}left( x ight) })

利用导数判断函数的单调性

1.在区间（a，b）为$f'left( x ight) $>0则f（x）在此区间为增函数，此区间为此函数的增区间

2.在区间（a，b）为$f'left( x ight) $<0则f（x）在此区间为减函数，此区间为此函数的减区间

利用导数研究函数的极值

曲边梯形与定积分

微积分基本定理

补充:定积分