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  • 初探微积分

    说在前面

    微积分由于刚刚学习,所以趁着有印象赶快整理下来
    本文章适合入门,其实文章里面大部分都是有关于导数的内容,积分内容只有两个

    平均变化率

    概念:一般的,已知函数y=f(x)x0x1是其定义域不同的两点,记作: (Delta) x=x1-x0
       (Delta)y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+(Delta)x)-f(x1)
       则当(Delta)x!=0时,商(dfrac {Delta y}{Delta x})=(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x})
       称函数y=f(x)在区间[x0,x0+(Delta)x](或[x0+(Delta)x,x0])的平均变化率

    例题:1.求函数y=x^2在区间[x0,x0+(Delta)x]的平均变化率

       2.求函数y=(dfrac {1}{x})在区间[x0,x0+(Delta)x]平均变化率

    瞬时变化率

    概念:(Delta)x趋近于0时,平均变化率(dfrac {Delta y}{Delta x})=(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x})趋近于一个常数l
       那么称函数l为函数y=f(x)在点x0瞬时变化率
    记作:(Delta)x ——> 0时,(dfrac {fleft( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}) ——> l

       即(lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=l)

    f(x)在点x0处的导数

    概念:函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率
       通常称为f(x)在点x0处的导数,并记作(f'left( x_{0} ight))
    (lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=f'left( x_{0} ight))

    导数定义

    概念:如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,称f(x)在区间(a,b)可导
       区间(a,b)的每个值都对应一个确定的导数(f'left( x ight))
       于是在区间(a,b)内,(f'left( x ight))可构成一个新函数
       称为y=f(x)的导函数,记作(f'left( x ight))通称导数
       
    例题:1.火箭竖直向上发射,熄火时向上速度达到100m/s
       试问熄火多长时间火箭上上速度为(0)
       
       2.圆S=π r^2,周长l=2πr求之间的关系

    导数的几何意义

    概念:通过直线和曲线图像我们可以得知两线有割线也有切线
       显然,我们可以知道割线的斜率就是平均变化率
       当割线成为切线的时候(Delta)x ——>(0),割线斜率趋近于切线斜率
       
       即(lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {f_{c}left( x_{0}+Delta x ight) -fleft( x_{0} ight) }{Delta x}=f'left( x_{0} ight))
       
    例题:1.求抛物线(y=x^{2})在点(x0,f(x0))的导数的切线的斜率等于(f'left( x_{0} ight))

       2.求双曲线(y=dfrac {1}{x})在点(2,1/2)的切线方程

    导数的运算

    常值函数的导数:
             (y=fleft( x ight) equiv c)(c为常数)
             (y'=f'left( x ight) =C'=lim _{Delta x ightharpoonup 0}dfrac {c-c}{Delta x}=0)
    根据以上的方法我们可以得到几个式子 
                       y=x   y'=x'=1
                       
                       (y=x^{2})   (y=left(x^{2} ight)'=2x)
                       
                       (y=dfrac {1}{x})   (y'=-dfrac {1}{x^{2}})
                       
                       (y=x^{3})   (y'=3x^{2})
                       
                       (y=sqrt {x})   (y'=lim _{Delta x ightarrow 0}dfrac {sqrt {x_{0}+Delta }x-sqrt {x_{0}}}{Delta x})
                       

    基本初等函数的公示表

    TIM图片20190320144352.jpg

    导数的四则运算

    1.函数和或差的求法

    (left[ fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight] '=f'left( x ight) pm g'left( x ight))

    2.函数积的求法

    (left[ tleft( x ight) cdot gleft( x ight) ight] '=f'left( x ight) cdot gleft( x ight) +g'left( x ight) cdot fleft( x ight))

    3.函数商的求法

    (left[ dfrac {fleft( x ight) }{gleft( x ight) } ight]' =dfrac {f'left( x ight) gleft( x ight) -fleft( x ight) g'left( x ight) }{g^{2}left( x ight) })

    利用导数判断函数的单调性

    1.在区间(a,b)为$f'left( x ight) $>0f(x)在此区间为增函数,此区间为此函数的增区间

    2.在区间(a,b)为$f'left( x ight) $<0f(x)在此区间为减函数,此区间为此函数的减区间

    利用导数研究函数的极值

    TIM图片20190320151551.jpg

    曲边梯形与定积分

    TIM图片20190320151931.png

    微积分基本定理

    TIM图片20190320152134.png

    补充:定积分

    TIM20190330215446.png
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    TIM20190330215523.png

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xmex/p/10562617.html
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