素数筛选法

素数筛选法是一种快速求某个大整数区间内的所有素数的方法，具体步骤是：找到区间内（例如1~n）除2外所有2的倍数，划掉。然后找到除3外所有3的倍数，划掉。然后5，7，...，续行此法，直到√n为止。这个方法为什么是正确的呢？这样考虑，区间内所有素数都不可能包含其他素因子，因此可以将所有包含素因子的数从区间中去掉，另外没有划掉的最接近上一次划掉的数的倍数的那个数一定是素数（比如2的倍数4,6,8,10, ...被划掉后，最接近2的没有被划掉的数3一定是素数），由数论中的算术基本定理容易推出，如果所有比当前数小的素数都不是该数的因子，可以得到该数就是素数。另外，为何筛选到√n就可以停止了呢，因为过了√n后，某个数如果能被筛掉，那么它在以前一定被筛掉过了，这是因为n有素因子大于√n，那么它一定有一个小于√n的因数，该数要么是素数，要么是合数，是素数的话肯定在以前筛掉了，是合数的话它一定能分解成若干个素数的乘积，因此也在之前就被筛掉了。理论有了，马上实践它，下面的题目取自HDU_1215:

Problem Description

七夕节那天,月老来到数字王国,他在城门上贴了一张告示,并且和数字王国的人们说:"你们想知道你们的另一半是谁吗?那就按照告示上的方法去找吧!" 人们纷纷来到告示前,都想知道谁才是自己的另一半.告示如下:数字N的因子就是所有比N小又能被N整除的所有正整数,如12的因子有1,2,3,4,6. 你想知道你的另一半吗?

Input

输入数据的第一行是一个数字T(1<=T<=500000),它表明测试数据的组数.然后是T组测试数据,每组测试数据只有一个数字N(1<=N<=500000).

Output

对于每组测试数据,请输出一个代表输入数据N的另一半的编号.

Sample Input

3

2

10

20

Sample Output

1

8

22

 

容易想到的方法是暴力搜索：

#include<stdio.h> // 超时
int main(void)
{
    int t, n, sum;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        sum = 0;
        for(int fac = 1; fac <= n/2; fac++) // n的因子不可能大于n/2
        {
            if(n % fac == 0)
                sum += fac;
        }
        printf("%d
", sum);    
    }    
    return 0;
}

正如注释中写到的，该方法超时了，因此我们需要另觅良方来提高效率：可以枚举到√n，如果n有一个比它小的因子，那么必然有一个比它大的因子。

#include<stdio.h> // 优化
#include<math.h>
int main(void)
{
    int t, n, sum;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        sum = 1;
        // 写法一：for(int fac = 2; fac <= floor(sqrt(n)+0.5); fac++)直接超时,因为每次循环都得求一次sqrt.
        // 写法二：int bound = floor(sqrt(n)+0.5);
        //            for(int fac = 2; fac <= bound; fac++) // 452MS.
        // 写法三：//280MS.对比可知,sqrt函数太耗时了.可以用乘法代替的话还是拒绝sqrt吧.
        for(int fac = 2; fac*fac <= n; fac++)
        {
            if(n % fac == 0)
            {
                sum += fac;
                if(fac*fac != n)
                    sum += n/fac;
            }
        }
        printf("%d
", sum);    
    }    
    return 0;
}

嗯？素数筛呢？没用吗？没用我介绍它干嘛：-，我们来试一下：

#include<stdio.h> // 素数筛，405MS
#include<math.h>
#include<string.h>
#define MAXN 500000
int prime[MAXN+10];
int main(void)
{
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    // 构造1-500000所有素数，0代表是素数，1代表不是素数
    for(int i = 2; i*i <= MAXN; i++)
        if(prime[i] == 0)
            for(int j = i+i; j <= MAXN; j += i)
                prime[j] = 1;
        
    int t, n, sum;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        sum = 1;
        if(prime[n] == 0)
            ;
        else
        {
            for(int fac = 2; fac*fac <= n; fac++)
            {
                if(n % fac == 0)
                {
                    sum += fac; 
                    if(fac*fac != n)
                        sum += n/fac;
                }
            }
        }
        
        printf("%d
", sum);    
    }
    
    return 0;
}

可以看到，对比上一个程序，耗时有增无减，我只能找测试强度不够这茬了：-
在仔细思考的话，这题实际是素数筛法的变形，素数筛法是留下素数，而我们这题要求找因子的和，测试够强的话，借助素数筛法确实可以帮助我们提高程序的效率，不过这还只是间接地利用素数筛法的思想，我们可以直接应用其思想，直指目标。也就是直接求每个数的因子和放到数组中：

#include<stdio.h> // 根据素数筛的思想，来一个狠点的，78MS就AC
#include<string.h>
#define MAXN 500000
int sum_fac[MAXN+10];
int main(void)
{
    for(int i = 2; i <= MAXN/2; i++) // MAXN的因子不可能超过MAXN/2
        for(int j = i+i; j <= MAXN; j+=i)
        {
            sum_fac[j] += i; // 将i换做1，便可以求因子个数
        }
    int t, n;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d
", sum_fac[n]+1);
    }
    return 0;
}

最后，我们不讨论这个问题存不存在三角恋，自恋的问题，还是拿测试来说事吧，我测试了一下，求1的因子和时，按题意应该是0，不过测试数据中好像没有1，因为稍微修改一下程序，将1当作特例来处理，似乎任何值都可以过。

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Author：海峰:)
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