《编译原理》LR 分析法与构造 LR(1) 分析表的步骤 - 例题解析
笔记
直接做题是有一些特定步骤，有技巧。但也必须先了解一些基本概念，本篇会通过例题形式解释概念，会容易理解和记忆，以及解决类似问题。
如果只想做题可以直接下拉至习题部分。
（一）关于状态
对于产生式 A→aBcD，就可以分解为下面几个不同的识别状态：
（1）A→.aBcD
（2）A→a.BcD
（3）A→aB.cD
（4）A→aBc.D
（5）A→aBcD.
“.” 的左部符号表示已被识别出来的那部分句柄符号
状态（1）表示：处于句柄的头
状态（2）表示：已经识别出字符 a，等待 形成以 B 为产生式左部的右部
状态（3）表示：刚刚进行了一次规约，即把关于 B 的产生式右部规约成 B
状态（4）表示：已经识别出字符 c，等待 形成以 D 为产生式左部的右部
状态（5）表示：已经到达句柄的尾巴，可以把 aBcD 规约为产生式左部的符号 A
（二）什么是 LR(k) 分析法？
字面意思理解：
| 字符 | 含义 |
|---|---|
| L | 表示 从左到右 扫描输入串 |
| R | 表示利用 最右分析方法 来识别句子，即构造一个 最右推导的逆过程 |
| k | 表示向右查看输入串符号的个数 |
LR 分析过程是规范归约的过程
规范规约是最右推导的逆过程，最右推导是规范推导，所以 最左规约是规范规约。
LR 分析法根据当前分析栈中的符号串和向右顺序查看输入串的 k 个符号就可以唯一确定分析器的动作是移进还是归约、利用那个产生式进行归约。
当没有指明 k 是几的时候，默认为 1
（三）文法的拓广？
文法的拓广是对现有文法，添加一个 S'，并对文法进行展开。
例如：
对于文法 G[E]:
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)
可以把它拓广为
文法 G[E']:
E' → E
E → E+T|T
T → T*F|F
F → i|(E)
此时可能会有疑问，不就是加了个开始符号，有什么意义呢？为什么要再加个开始符号呢？
加开始符号是为了状态的表示，这样原来的 S 会成为右部，可以表示 .S 和 S.
那同一非终结符的右部有多种情况为什么不展开呢？
这里是说拓广文法，是添加开始符号，可以展开可以不展开，但是一般默认要展开，一般一道题不会只让求拓广文法，而是为了后面。一般题目中是说 “求该文法的拓广文法并编号”，此时请一定要展开。展开后应该是这样：
1.E'→E
2.E → E+T
3.E → T
4.T → T*F
5.T → F
6.F → i
7.F → (E)
（四）什么是项目？项目有哪些分类？等价状态？
上面提到拓广文法，展开，以及编号。
先看例题：
对于文法 G[S]:
S → vI:T
I → I,i
I → i
T → r
可以把它拓广并编号，如下：
文法 G[S']:
1.S' → S
2.S → vI:T
3.I → I,i
4.I → i
5.T → r
它的全部 LR(0) 项目，如下：
1.S' → .S
2.S' → S.
3.S → .vI:T
4.S → v.I:T
5.S → vI.:T
6.S → vI:.T
7.S → vI:T.
8.I → .I,i
9.I → I.,i
10.I → I,.i
11.I → I,i.
12.I → .i
13.I → i.
14.T → .r
15.T → r.
对上面 LR(0) 项目进行分类
| 类型 | 包含 | 特点 |
|---|---|---|
| 规约项目 | 2, 7, 11, 13, 15 | . 在右部的末尾 |
| 接收项目 | 2 | . 在开始符号的末尾 |
| 移进项目 | 3, 5, 9, 10, 12, 14 | . 后面跟着终结符，表移进 |
| 待约项目 | 1, 4, 6, 8 | . 后面跟着非终结符，表等待后面非终结符的规约，简称待约 |
谁和谁是等价状态？
例如：
待约项目 4 即 S→v.I:T 它的含义是等待栈顶规约出 I，但尚未识别对应 I 的那些句柄的任何符号；
项目 8 即 I→.I,i 和项目 12 即 I→.i 的含义也是期待栈顶形成 I 的句柄，所以这三个项目的含义是一样的，即 4, 8, 12 三个状态是等价的。
同理：项目 6 即 S → vI:.T 和项目 14 即 T → .r 也是等价的
为什么它们是等价状态？怎么判断等价状态？
上面有说因为他们表示的含义是一样的，并且会发现等价肯定涉及至少一个待约项目，以及一个 . 在最左端的移进项目。
这是因为，待约项目是 . 后面跟非终结符，这个 . 是在非终结符的前面；当存在该非终结符的产生式时，且 . 在最左端的时候。因为 . 在最左端，其实也是相当于在该非终结符的前面。所以是一个等价的状态。
（五）LR 分析表介绍
LR 分析器的关键部分是 分析表的构造。分析表有以下几种：
规范的 LR 分析表：
- LR(0)，能力最弱，局限性较大，但理论上最重要。
- LR(1)，它功能最强，但代价也最大。
简单的 LR 分析表：
- 简称 SLR ，最容易实现，但功能最弱。
向前看的 LR 分析表：
- 简称 LALR，功能和代价处于前两者之间，适用于绝大多数程序语言的文法
总结： LR(0) 功能最弱，功能弱是说当文法中产生式比较复杂，出现某些问题时，无法解决。这些问题一部分可以由 SLR 分析法解决。但还有一部分 SLR 解决不了，可以用 LR(1) 来解决。
（六）关于 “展望”
在规范归约过程中，一方面记住已移进和归约出的整个符号串，即记住 “历史”，另一方面根据所用的产生式推测未来可能碰到的输入符号，即对未来进行 “展望”。
当一串貌似句柄的符号串呈现于分析栈的顶端时，根据所记载的 “历史” 和 “展望” 材料，来确定栈顶的符号串是否构成句柄。
为了记住分析的 “历史” 和汇集 “展望” 的信息，LR 分析法这样处理：
将归约过程的 “历史” 和 “展望” 材料综合抽象成某些状态，存放在一个状态栈中，栈中每个状态都概括了从分析开始直到某一归约阶段的全部“历史”和“展望”材料。
LR(1) 分析法这样处理：
首先，明白了在 LR(1) 分析法中展望是为了解决其他分析法解决不了的问题。简单的说就是，状态会出现冲突，我们不能只通过后 1 个输入串符号，直接确定选用哪个产生式，这是严重的错误。
所以 展望（向前搜索符） 是通过展望后面的内容，所以展望对应的终结符，应该 属于该非终结符的 FOLLOW 集（确切的说，属于 FOLLOW 集中的具体哪个个终结符，应该根据产生式的推导过程确定，通过语法树来分析，是比较直观的方法。也可以直接通过求该非终结符后的 FIRST 集来确定，但要注意是对谁求 FIRST 集，可表示为 FIRST(βa)，例题中会提到），来帮助唯一确定选择产生式。
拓展注：这里提到的 FOLLOW 集和 FIRST 集不是冲突的，因为我们要求的向前搜索符时 FOLLOW 集的子集，有时候不能确定，所以用 FIRST(βa)， β 表示由谁哪个非终结符推导的，这个非终结符的后面的剩余串，a 表示它上一个状态中的向前搜索符。它俩拼接起来的串，对该串求 FIRST 集。
那么可能会有疑问，利用上一个状态？那第一个状态呢？第一个状态是固定的 S'→S,#
其实 # 就是 S 的 FOLLOW 集中的唯一的元素，它也是开始符号的向前搜索符
所以说 FOLLOW 集和 FIRST(βa) 是都可以求的，FIRST(βa) 是准确的向前搜索符，它是 FOLLOW 集的一部分
在 LR(1) 中，用
状态, 终结符
例如：S' → # （#表示开始符号FOLLOW集会提到那个符号，有的地方用 $，是一样的 ）
这种形式是表式展望，终结符就是展望的后面的终结符，具体的下面例题中还会提到。
（七）终极例题 - LR(1) 分析表的构造
给定文法 G[S]：
S→L=R | R
L→*R | id
R→L
回答以下问题：
（1）文法的拓广并编号
（2）LR(1) 项目集规范族所对应的识别活前缀的 DFA
（3）构造 LR(1) 分析表
解析：
1）文法的拓广并编号：
拓广文法 G[S']：
（0）S'→S
（1）S→L=R
（2）S→R
（3）L→*R
（4）L→id
（5）R→L
2）LR(1) 项目集规范族所对应的识别活前缀的 DFA*
这里就涉及到 “展望” 这个知识点了
向前搜索符的 FIRST 集求法：
求法 FIRST(βa)
- β 表示由谁哪个非终结符推导的，这个非终结符的后面的剩余串
- a 表示它上一个状态中的向前搜索符。
对于 I0 ：
首先 S' → .S, # 这个是固定的，就是第一个状态的核心项目
下面对 S 求向前所有符都没问题，都是 #
到了 L→.*R，这里，求向前搜索符，使用 FIRST(βa)
应该是求 FIRST(=R#) 所以就是 = 了
为什么是 =R#?
因为 β 表示由谁哪个非终结符推导的，这里就是上面状态【S→.L=R, #】这个非终结符 L 的后面的剩余串是 =R，a 表示它上一个状态中的向前搜索符，就是 #，拼接起来就是 =R#。
（图片来源：中国大学慕课 -《编译原理》哈尔滨工业大学 陈老师）
该 DFA 有穷自动机的解释：
（1）这样表示形式就是自动机，每个方框表示一个状态，从 I0 到 I13 所以共有 14 个状态。
（2）每个状态中包含的多个项目，都是等价的。
（3）每个项目中逗号后面的终结符或者 # 表示展望的终结符。
（4）关于画出 DFA 的步骤：
- 以 I0 为例，首先对于 0 号产生式 S' → S，可知应该有 S' → .S 和 S' → S. 两个状态，因为 S' 是开始符号，展望是属于 FOLLOW 集的，展望应该是 #，可以得出 S' → .S, #
- 因为 .S 表示等待规约出 S 的状态。并且 S→L=R，所以 .S 和 .L=R 是两个等价的状态。但需要注意的是此时的 FOLLOW 集应该 S 的 FOLLOW 集，而不是 L 的，也不 R 的
- 同理，因为有 S→R，则 .S 和 .R 是两个等价的状态。
- 有了 .R，应该继续去找 R 为左部的产生式，因为有 R→L，所以 .S 和 .L 是两个等价的状态。
- 注意： 在找 R 的展望终结符时，展望 是通过展望后面的内容，所以展望对应的终结符，应该 属于该非终结符的 FOLLOW 集（确切的说，属于 FOLLOW 集中的具体哪个个终结符，应该根据产生式的推导过程确定，通过语法树来分析，是最直观的方法）
（图片来源：中国大学慕课 -《编译原理》哈尔滨工业大学 陈老师）
可以看出来 R 的展望应该有两种情况，一个是 =，一种是 #
但此时，我们通过 S → R 找到的 R，所以应该是 #
不断循环通过，将 . 后移，判断下一个状态，找出等价状态，直到判断完成。
3）构造 LR(1) 分析表
根据自动机即可构造 LL(1) 分析表：
（图片来源：中国大学慕课 -《编译原理》哈尔滨工业大学 陈老师）
LL(1) 分析表解释补充：
（1）内容 LL(1) 分析表 = 动作表 (ACTION) + 状态转移表(GOTO)
（2）动作表 中的每一个元素 ACTION[S,a] 规定了当 栈顶状态 为 S，且面临输入符号 a 时应采取的动作。根据自动机中的终结符边可判断。
（3）状态转换表 中的每一个元素 GOTO[S,x] 规定了当状态 S 面对文法符号位 x 时的下一个状态。根据自动机中的非终结符边可判断。
（4）动作表 的列对应所有终结符加上 #
（5）状态转换表 的列对应所有非终结符，不包括 S'，因为 S 就是开始符号，S' 是为了使 “接收状态” 易于识别，所引入的。
（6）动作表 中例如：
- ACTION[0, *] 的 *S4 表示移进，入栈，就是当前状态为 0，当输入串为 ，则将状态 4 移进状态栈，将 * 移进文法符号栈
- ACTION[5, =] 的 r4 表示符合产生式 4，将栈顶符号 id 规约为产生式左部
- acc 表示接收
（7）状态转换表 中例如：
- GOTO[0, S] 的 数字为 1 表示转入 1 状态，置当前文法符号栈顶为 S，栈顶状态为 1
（8）构造 LL(1) 分析表的步骤，重要 ！！！：
-
确定对应行 ，行就是所有状态
-
确定对应列 ，列有两部分 ACTION 表和 GOTO 表，ACTION 表中列是所有终结符，以及 #。 GOTO 表的对是所有非终结符，不包括 S'
-
!!!GOTO 表的构造：判断当前输入串，如果存在自动机的边，且边为非终结符就把状态编号填入 GOTO 表
-
!!!ACTION 表的构造：
- 查找该状态中是否有 . 在最后的状态，如果有先根据向前搜索符确定哪一列，再用 rn，填入表示，r 的含义是规约，n 表示的是产生式的序号；如果没有则说明没有没有 r
- 判断是否存在该状态输出的边，如果存在则用 Sn 表示，S 表示移进，入栈，n 表示下一个状态的序号
（9）上面也更深入的了解了展望的意义，首先，展望是存在一个状态中的，终结符，对应的应该为是当前等价的状态，操作也就应该是移进。如果是自动机的边，就是说不是当前状态了，所以对应的是规约。
总结
易错点：
- 求 展望对应的终结符 是通过展望后面的内容，所以展望对应的终结符，应该 属于该非终结符的 FOLLOW 集（确切的说，属于 FOLLOW 集中的具体哪个个终结符，应该根据产生式的推导过程确定，通过语法树来分析，是最直观的方法）
- 各教材描述可能存在差异，但思想是相同的
- 比如 $ 和 #
- 比如展望终结的表示方法，有的分开写，有的直接用或