图论-二分图匹配-匈牙利算法

有关概念：

　　二分图：图G中的点集可以分为两个互不相交的子集，且G中的每条边连接的两个点分别属于这两个子集

　　二分图匹配：二分图G的子图M中每个结点上只连一条边，则称M为一个匹配

　　极大匹配：无法再向二分图中加边且满足匹配条件的匹配

　　最大匹配：所有极大匹配中边数最多的一个

　　增广路：若P为图G上连接两个未匹配结点的路径，且已匹配边和未匹配边在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路

　　匈牙利算法即用来求二分图的极大匹配

思路：

　　在图G中找出增广路P，对P上每一条边取反（即已匹配边改为未匹配边，未匹配边改为已匹配边），重复直到找不到增广路为止

样例推导：

给出一幅二分图

从X1开始，搜到X1-Y1，成增广路，连接X1-Y1

[ATTENTION]从X2开始，搜到X2-Y1-X1-Y3，成增广路

[ATTENTION] 取消连接X1-Y1，连接X1-Y3，X2-Y1

从X3开始，搜到X3-Y1-X2，不通，不作更改

搜到X3-Y2，成增广路，连接X3-Y2

从X4开始，搜到X4-Y3-X1-Y1-X2，不通，不作更改

搜到X4-Y4，成增广路，连接X4-Y4

至此找出极大增广路

邻接表

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 
int n,m,cnt,match[MAXN],head[MAXN],ans;
bool check[MAXN];
struct node
{
    int v,next;
}edge[MAXN*5];
void add(int x,int y)
{
    edge[++cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
    edge[cnt].v=y;
}
bool Hungary(int u)
{
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(!check[v])//判断v是否在增广路中
        {
            check[v]=true;
            if(!match[v]||Hungary(match[v]))
            {
                match[v]=u;//v对应u
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    //省略输入 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!match[i])
        {
            memset(check,false,sizeof(check));
            if(Hungary(i))ans++;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

邻接矩阵

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 
int n,m,cnt,match[MAXN],map[MAXN][MAXN],ans;
bool check[MAXN];
bool Hungary(int u)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i]&&map[u][i])
        {
            check[i]=true;
            if(!match[i]||Hungary(match[i]))
            {
                match[i]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    //省略输入 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!match[i])
        {
            memset(check,false,sizeof(check));
            if(Hungary(i))ans++;
        }
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

*参考：https://www.byvoid.com/blog/hungary/

http://baike.baidu.com/view/501081.htm

http://baike.baidu.com/link?url=QbNL6DpNwvt1u3Yka7I-xy9Ymig1HNZid4j2MGsDxlyzCOXcdhjkG8sSJvBtK2zkZzOU007ooiSiujjwOpYCMq

http://baike.baidu.com/link?url=YStVW2tIYiH6flGjr0VqIu44uM9Vhckq8pyKLpt651sGYpOFHsGI3TL9d2T5Tmy84QXmt__mVc0zerNUBfeecK