动态规划-最长上升子序列

有关概念：

　　最长上升子序列（LIS，Longest Increasing Subsequence），在一个序列中最长的单调递增的子序列

思路：
　　求LIS通常有O(n²)和O(nlogn)两种算法

（1）O(n²)算法

　　f_i表示以第i个数结尾的LIS长度

　　对于序列中的一个数i，在i前面枚举数j，j满足比i小且f_j最大，将i作为j的后继

　　伪代码&状态转移方程：

　　f₁=1

　　for i=2...n

　　　　for j=1...i-1

　　　　　　if(a_j<a_i)f_i=max(f_i,f_j+1)

　　最后结果在f₁~f_n中取最大值

　　当然，可以在更新f_i的时候顺便记录j的位置，在最后可以输出整个LIS

#include<cstdio>
#define MAXN 
int n,a[MAXN],f[MAXN],ans;
inline int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
            if(a[i]>a[j]&&f[j]+1>=f[i])f[i]=f[j]+1;
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

（2）O(nlogn)算法

　　f_i表示长度为i的非降子序列的最小末尾，len记录当前最长的非降子序列长度

　　可得f₁<=f₂<=f₃<=...<=f_maxlen

　　每次读入一个数字k，先与f_len比较，如果大于则添加至f_++len，作为原来f_len的后继

　　否则在f中找到f_i<k<=f_i+1，更新为f_i+1为k，即k比原来f_i+1更优，可作为f_i的后继

　　最后输出len即可

　　然而查找过程可以用二分优化，就得出这种算法

 　（样例推导见大犇博客http://www.cnblogs.com/ziyi--caolu/p/3227121.html）

#include<cstdio>
#define MAXN 
int n,s[MAXN],f[MAXN],len;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%d",&s[1]);
    f[1]=s[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&s[i]);
        if(s[i]>f[len])f[++len]=s[i];
        else
        {
            int l=1,r=len;
            while(l<r)
            {
                int mid=(l+r)>>1;
                if(s[i]>f[mid])l=mid+1;
                else r=mid;
            }
            f[l]=s[i];
        }
    }
    printf("%d",len);
    return 0;
}