分支限界>装载问题

装载问题

一、问题描述

有两艘船，n个货箱。第一艘船的载重量是c₁，第二艘船的载重量是c₂，w_i是货箱i 的重量,且w₁+w₂+……+w_n≤c₁+c₂。确定是否有一种可将所有n个货箱全部装船的方法。若有的话，找出该方法。

例子：

有两艘船，3个货箱。第一艘船的载重量是50，第二艘船的载重量是50。

         当w =[10,40,40]时，有解；

         当w =[20,40,40]时，无解。

二、问题是否可解的判断

当第一艘船的可行最大装载为bestw时，若w1+w2+……+wn-bestw≤c2，则问题有解。即

总的重量 - 第一艘船实际能够装载的最大重量  < 第二艘船的载重量 时

因此，此问题可以转化为第一艘船的装载问题。

三、分析

• “装载上界”，就是假设装载当前物品以后的所有物品。
• 若当前分支的“装载上界”，比现有的最大装载小，则该分支就无需继续搜索。这样就缩小搜索范围，提高了搜索效率。
• 优先队列中结点优先级常规定为一个与该结点相关的数值p，它一般表示其接近最优解的程度，本例就以当前结点所在分支的装载上界为优先值。

四、例子

W={10,30,50},C1=60, 所构成的子集树如下图所表示：

4.1、FIFO限界搜索过程

1）初始队列中只有结点A；

2）结点A变为E-结点扩充B入队，bestw=10；

  结点C的装载上界为30+50=80> bestw，也入队；

3）结点B变为E-结点扩充D入队，bestw=40；

  结点E的装载上界为60> bestw，也入队；

4）结点C变为E-结点扩充F入队，bestw仍为40；

  结点G的装载上界为50> bestw，也入队；

5）结点D变为E-结点，叶结点H超过容量，

  叶结点I的装载为40，bestw仍为40；

6）结点E变为E-结点，叶结点J装载量为60，bestw为60；

  叶结点K被剪掉；

7）结点F变为E-结点，叶结点L超过容量，bestw为60；

  叶结点M被剪掉；

8）结点G变为E-结点，叶结点N、O都被剪掉；

  此时队列空算法结束。

4.2、LC-搜索的过程

1) 初始队列中只有结点A；

2) 结点A变为E-结点扩充B入堆，bestw=10；

结点C的装载上界30+50=80>bestw，入堆；堆中B上界为90在优先队列首。

3) 结点B变为E-结点扩充D入堆，bestw=40；

结点E的装载上界60>bestw，入堆；堆中D上界为90为优先队列首。

4) 结点D变为E-结点，叶结点H超过重量，叶结点I的装载为40，入堆，bestw仍为40；此时堆中C上界为80为优先队列首。

5) 结点C变为E-结点扩充F入堆，bestw仍为40；

结点G的装载上界50> bestw，入堆；此时堆中E上界为60为优先队首

6) 结点E变为E-结点，叶结点J装载量为60入堆，bestw变为60；

叶结点K上界10<bestw被剪掉；此时堆中J上界为60为优先队列首。

7) 结点J变为E-结点，扩展的层次为4算法结束。

虽然此时堆并不空，但可以确定已找到了最优解。

优先队列限界搜索解空间的过程是：A-B-D-C-E-J