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子集和数问题

问题描述

已知(w₁, w₂, …, w_n)和M，均为正数。要求找出w_i的和数等于M的所有子集。

  例如：若n=4,(w₁,w₂,w₃,w₄)=(11,13,24,7),M=31，则满足要求的子集是(11,13,7)和(24,7).

分析

子集和数问题解的一种表示方法

• 解由n-元组(x₁, x₂, …, x_n)表示;
• 显式约束条件x_i∈{0,1} ，1≤i≤n，如果没有选择Wi，则x_i=0；如果选择了W_i，则x_i=1。于是上面的解可以表示为(1，1，0，1)和(0,0,1,1);
• 隐式约束条件(x_i× w_i)的和数为M
• 解空间的大小为2ⁿ个元组

子集和数的递归回溯算法

//找W（1：n）中和数为M的所有子集。进入此过程时X(1),…,X(k-1)的值已确定。W(j)按非降次序排列。

global integer M,n; global real W(1:n); global boolean X(1:n)

real  r,s; integer k,j

     //生成左儿子//

   X(k)←1

   if s+W(k)=M then

     print(X(j),j←1 to k)

   else

     if s+W(k)+W(k+1)<=M then

        call SUMOFSUB(S+W(k),k+1,r-W(k))

    endif

 endif

     //生成右儿子和计算B_k的值//

 if   s+r-W(k)>=M and s+W(k+1)<=M

 then X(k)←0

          call SUMOFSUB(s,k+1,r-W(k))

 endif

end SUMOFSUB

例子

n=6, M=30,W(1:6)=(5,10,12,13,15,18)

（当前和，当前处理的子数，剩余子数的和）