第衣果：
如何证明gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))
设a=r1*k;b=r2*k;r1与r2互质
a+b=(r1+r2)*k;
gcd(a,b)=k;
lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)
=r1*r2*k*k/k=r1*r2*k;
所以gcd(a+b,lcm(a,b))=k;
故gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))
第鹅果：
如何证明gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;
设x=gcd(a,b),y=lcm(a,b);
设a=m*x,b=n*x;
则y=m*n*x;
所以gcd(a,b)*lcm(a,b)=x*m*n*x;
a*b=m*x*n*x;
故gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;
第山果：
如何证明1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+......+1/n不是整数
看一下百度上的证明方法吧
https://zhidao.baidu.com/question/312263826.html
这里说的的对任意一个确定的正整数n，1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整数，和极限没有关系（用了极限也难以证明原结论）。
假定n>1（n=1时结论不成立）
假设1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=M为整数，现在来推出矛盾。
设P=[1, 2, …, n]为1、2、……、n的最小公倍数（不是取n!），用P乘以上式两边，
P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*M， ………………①
设k是满足2^k≤n的最大正整数，即2^k≤n<2^(k+1)。
显然2^k|P*M (n≥2, 2^k|P)。
下面证明P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P/1+P/2+…+P/n不是2^k的倍数，甚至不是2的倍数。
显然P*1/i是整数（i=1, 2, … . n）。
把P分解因数，其中质因数2出现的次数为k（2^k≤n<2^(k+1)，所以2^k|P；又因为P是最小公倍数，所以P的因数中恰好含有k个2）。故P/2^k不再含素因子2，即为奇数。
P/1、P/2、…、P/n这些数中，除P/2^k外，其余各项都是2的倍数（因为分母的质因数中至多含有(k-1)个2，而分子含有k个2）。故P/1+P/2+…+P/n不是2的倍数（其中只有1个奇数，其余都是偶数）。这与①式右边为偶数矛盾。
其实第山果，我并不是太懂Ｏ(≧口≦)Ｏ啊啊啊