我们记(pw3_i)表示前(i)个位置,结尾为(i)的最长全1子串的期望长度的立方。
如果我们钦定(p_{n+1}=0),那么答案(=sum_{i=1}^npw3_i imes(1-p_{i+1}))。乘上((1-p_{i+1}))意思是这一位要在下一位为(0)的时候才有贡献。
设当前位置为(i)。
这一位有(p_i)的概率为1。那么考虑如何从(pw3_{i-1})转移到(pw3_i)。
发现((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1)。
我们记(pw2_i)表示前(i)个位置,结尾为(i)的最长全1子串的期望长度的平方,(pw1_i)表示前(i)个位置,结尾为(i)的最长全1子串的期望长度。
那么(pw3_i=(pw3_{i-1}+3pw2_{i-1}+3pw1_{i-1}+1) imes p_i)
然后我们还要转移(pw2)和(pw1)。
同理,((x+1)^2=x^2+2x+1)。
所以(pw2_i=(pw2_{i-1}+2pw1_{i-1}+1) imes p_i)。
剩下一个就很简单了,(pw1_i=(pw1_{i-1}+1) imes p_i)。
做完了。
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double p[100010],pw1[100010],pw2[100010],pw3[100010],ans;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lf",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)pw1[i]=(pw1[i-1]+1)*p[i],pw2[i]=(pw2[i-1]+2*pw1[i-1]+1)*p[i],pw3[i]=(pw3[i-1]+3*pw2[i-1]+3*pw1[i-1]+1)*p[i],ans+=pw3[i]*(1-p[i+1]);
printf("%.1lf",ans);
return 0;
}