题解【AcWing91】最短Hamilton路径

题面

看到数据范围这么小，第一眼想到爆搜。

然而这样做的复杂度是 (mathcal{O}(n! imes n)) 的，明显会 TLE。

于是考虑状压 DP。

我们设 (dp_{i,j}) 表示当前走过的集合为 (i)，且停留在 (j) 号点的最短路径长度。

转移的话可以枚举一个点 (k)，意为从 (k) 号点走到点 (j)，走过的集合变成了 (i)。然后就有了转移方程：(dp_{i,j}=min{dp_{i-2^j,k}+a_{k,j}})，其中 (a_{k,j}) 表示点 (k) 到点 (j) 的距离。

注意点的标号从 (0) 开始。

这里介绍一个判断 (j) 号点是否出现在集合 (i) 中的技巧：直接判断 i >> j & 1 是否为 ( ext{true}) 即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d
", __FUNCTION__, __LINE__)
#define itn int
#define gI gi

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

inline int gi()
{
	int f = 1, x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return f * x;
}

inline LL gl()
{
	LL f = 1, x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
	while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
	return f * x;
}

int n, m, a[23][23], dp[(1 << 20) + 5][23];

int main()
{
	//freopen(".in", "r", stdin);
	//freopen(".out", "w", stdout);
	n = gi();
	for (int i = 0; i < n; i+=1) 
		for (int j = 0; j < n; j+=1) 
			a[i][j] = gi();
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	dp[1][0] = 0;
	for (int i = 0; i < (1 << n); i+=1)
	{
		for (int j = 0; j < n; j+=1)
		{
			if (i >> j & 1) //判断集合 i 中是否含有 j
			{
				for (int k = 0; k < n; k+=1)
				{
					if ((i - (1 << j)) >> k & 1) //判断没有访问 j 之前有没有访问过 k
					{
						dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - (1 << j)][k] + a[k][j]); //转移
					}
				} 
			}
		}
	}
	printf("%d
", dp[(1 << n) - 1][n - 1]);
	return 0;
}