题解【洛谷P2569】[SCOI2010]股票交易

题面

设 (dp_{i,j}) 表示前 (i) 天，现在手里有 (j) 股的最大收益。

转移需要分情况讨论：

• 这一天不进行任何交易，即 (dp_{i,j} = dp_{i - 1, j})；
• 这一天买股票：
  • 在之前没有买过股票的情况下买股票：(dp_{i,j}=-j imes AP_{i})（(0le jle AS_i)）；
  • 在之前的基础上买：(dp_{i,j}=dp_{i-w-1,k}-(j-k) imes AP_i)（(j-AS_ile kle j)）((alpha))。
• 这一天卖股票：
  • 在之前的基础上卖：(dp_{i,j}=dp_{i-w-1,k}+(k-j) imes BP_i)（(jle kle j+BS_i)）((eta))。

前两种情况可以直接维护，而后两种情况暴力是 (mathcal O (T^2MaxP)) 的，考虑如何优化。

先化简一下式子：

• ((alpha)dp_{i,j}=dp_{i-w-1,k}+k imes AP_i-j imes AP_i（j-AS_ile kle j))，
• ((eta)dp_{i,j}=dp_{i-w-1,k}+k imes BP_i-j imes AP_i（jle kle j+BS_i）)。

我们发现这两个式子中 (k) 的取值都是在一段区间中，于是滑动窗口维护区间最值，可以使用单调队列。

这样我们就可以 AC 此题了。

#include <bits/stdc++.h>
#define DEBUG fprintf(stderr, "Passing [%s] line %d
", __FUNCTION__, __LINE__)
#define File(x) freopen(x".in","r",stdin); freopen(x".out","w",stdout)

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair <int, int> PII;
typedef pair <int, PII> PIII;

template <typename T>
inline T gi()
{
    T f = 1, x = 0; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return f * x;
}

const int INF = 0x3f3f3f3f, N = 2003, M = N << 1;

int n, maxp, w;
int ap[N], bp[N], as[N], bs[N];
int dp[N][N];
int q[N], hh, tt;

int main()
{
    //File("");
    n = gi <int> (), maxp = gi <int> (), w = gi <int> ();
    for (int i = 1; i <= n; i+=1) 
	    ap[i] = gi <int> (), bp[i] = gi <int> (), as[i] = gi <int> (), bs[i] = gi <int> ();
	memset(dp, 0xcf, sizeof dp);
	for (int i = 1; i <= n; i+=1)
	{
		for (int j = 0; j <= as[i]; j+=1) 
			dp[i][j] = -j * ap[i];
		for (int j = 0; j <= maxp; j+=1) 
			dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
		if (i <= w) continue;
		q[hh = tt = 1] = 0;
		for (int j = 0; j <= maxp; j+=1)
		{
			while (hh <= tt && q[hh] < j - as[i]) ++hh;
			while (hh <= tt && dp[i - w - 1][q[tt]] + q[tt] * ap[i] < dp[i - w - 1][j] + j * ap[i]) --tt;
			q[++tt] = j;
			if (hh <= tt) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - w - 1][q[hh]] + q[hh] * ap[i] - j * ap[i]);
		}
		q[hh = tt = 1] = maxp + 1;
		for (int j = maxp; j >= 0; j-=1)
		{
			while (hh <= tt && q[hh] > j + bs[i]) ++hh;
			while (hh <= tt && dp[i - w - 1][q[tt]] + q[tt] * bp[i] < dp[i - w - 1][j] + j * bp[i]) --tt;
			q[++tt] = j;
			if (hh <= tt) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - w - 1][q[hh]] + q[hh] * bp[i] - j * bp[i]);
		}
	}
	printf("%d
", *max_element(dp[n], dp[n] + 1 + maxp));
    return 0;
}