一、$ t Toeplitz$矩阵与循环（$ t Circulant$）矩阵
定义
为$n imes n$阶循环矩阵。
定义 $T_n(i,j)=t_{j-i} $ 为$n imes n$ 阶$ t Toeplitz$矩阵
通过令矩阵$B_n＝$
从而构造出$2n imes 2n$阶循环矩阵
假设有一$n imes 1$阶列向量$f u$
其中，$C_{2n}$可以由快速傅里叶对角化
其中$f c$表示$C_{2n}$矩阵的第一列元素，$f F$ 表示快速傅里叶($ t fft$)变换，$f F^{-1}$ 表示快速傅里叶($ t ifft$)逆变换。进一步可写成
因此，计算$f T_n u$等价于计算
查阅文献我们知道，直接计算$f T_n u$的存储量和计算量分别为$O(n^2)$和$O(n^3)$,但是利用快速傅里叶计算可以将存储量和计算量分别降为$O(n)$和$O(n log_2 n)$.
从以下数据可以更直观的看出FFT显著的优点
二、数值应用
- 考虑一维椭圆方程
$$－Delta u=f(x),qquad a<x<b, ag{1}$$
满足齐次$Dirichlet$边界条件。
对$xin [a,b]$一致网格剖分：$a=x_0<x_1,cdots,x_M=b$,$h=frac{b-a}{M}$。$U,u$分别表示数值解和真解。应用二阶中心差分逼近二阶导数
$$Delta u(x_i)= frac{u(x_{i-1})-2u(x_i)+u(x_{i+1}) }{h^2}+O(h^2). ag{2}$$
由(2)式可得求解方程(1)的数值格式的矩阵形式
$$A{f U}＝widehat{f}. ag{3}$$
其中
$$A= t －frac{1}{h^2}toeplitz([-2,1,zeros(1,M-3)]),$$
$$widehat{f}=( f(x_1),f(x_2),cdots,f(x_{M-1}) )^T.$$
$${f U}=(u_1,u_2,cdots,u_{M-1})^T.$$
- 考虑二维椭圆方程
$$－Delta u=f({f x,y}),qquad {(f x,y)}in (a,b) imes (c,d), ag{4}$$
对$xin [a,b]$一致网格剖分：$a=x_0<x_1,cdots,<x_{M_1}=b$,$h_1=frac{b-a}{M_1}$，$c=y_0<y_1,cdots,<y_{M_2}=d$,$h_2=frac{d-c}{M_2}$。$U,u$分别表示数值解和真解。应用二阶中心差分逼近二阶导数
$$Delta u(x_i,y_j)= frac{u(x_{i-1},y_j)-2u(x_i,y_j)+u(x_{i+1},y_j) }{h_1^2}+ frac{u(x_i,y_{j-1})-2u(x_i,y_j)+u(x_i,y_{j+1}) }{h_2^2}+O(h_1^2+h_2^2). ag{5}$$
由(5)式可得求解方程(4)的数值格式的矩阵形式
$$A{f U}＝widehat{f}. ag{6}$$
其中
$$A_1= t toeplitz([-2,1,zeros(1,M_1-3)]),$$
$$A_2= t toeplitz([-2,1,zeros(1,M_2-3)]),$$
$$ A_x = - t frac{1}{h_1^2} I_{M_2-1} igotimes A_1 ,mbox{(非toeplitz矩阵)}$$
注意到：
$$ I_{M_2-1} igotimes A_1U = reshapeBig( A_1 reshape( U,M_1-1,M_2-1 ),( M_1-1 )(M_2-1),1 Big). $$
$$ A_y = - t frac{1}{h_2^2} A_2 igotimes I_{M_1-1} ,$$
$$A = A_x+A_y,$$
$$widehat{f}=( f(x_1,y_1),f(x_2,y_1),cdots,f(x_{M_1-1},y_1) , f(x_1,y_2),f(x_2,y_2),cdots,f(x_{M_1-1},y_2), cdotscdots, f(x_1,y_{M_2-1}),f(x_2,,y_{M_2-1}),cdots,f(x_{M_1-1},,y_{M_2-1}) )^T.$$
$${f U}=(u_{1,1},u_{2,1},cdots,u_{M_1-1,1},u_{1,2},u_{2,2},cdots,u_{M_1-1,2},cdotscdots,u_{1,M_2-1},u_{2,M_2-1},cdots,u_{M_1-1,M_2-1})^T.$$
由数值格式（3），（6）显然可知，当空间网格剖分很大时，矩阵乘法的计算量将会十分昂贵，因此利用FFT算法是很有必要的。接下来介绍一种有效的线性迭代法-共轭梯度法（CGS）
三、数值例子
- case $I$(1D) ： 真解：
$$ u = sin(x),qquad xin( 0,pi ), $$
分别应用直接法和FFT方法的实验结果见下图
- case $II$(2D) ： 真解：
$$ u = sin(x)sin(y),qquad (x,y)in( 0,pi )^2, $$
分别应用直接法和FFT方法的实验结果见下图
从数值实验结果可以直观的看出，FFT的计算效率是惊人的！