全概率公式
引例
先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：
(P(L_1)=0.5,P(L_2)=0.3,P(L_3)=0.2)
每天上述三条路不拥堵的概率分别为：
(P(C_1)=0.2，P(C_2)=0.4,P(C_3)=0.7)
假设遇到拥堵会迟到，那么小张从 (mathcal{Home}) 到 (mathcal{Company}) 不迟到的概率是多少？
其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件为选择第i条路，则：
[egin{aligned}
P(C)&=P(L_1) imes P(C|L_1) + P(L_2) imes P(C|L_2)+P(L_3) imes P(C|L_3)\
&=P(L_1) imes P(C_1) + P(L2) imes P(C_2)+P(L_3) imes P(C_3)
end{aligned}
]
全概率就是表示达到某个目的，有多种方式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到目的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）
全概率公式：
设事件(L_1, L_2 cdots L_n)是一个完备事件组，则对于任意一个事件(C)，若有如下公式成立：
[egin{aligned}
P(C)&=P(L_1) imes P(C|L_1) + P(L_2) imes P(C|L_2)+cdots +P(L_n) imes P(C|L_n) \
&= sum^n_{i=1} P(L_i)P(C|L_i)
end{aligned}
]
那么就称这个公式为全概率公式。
麻球繁衍
题意
一个麻球只能存活一天，这天他有 (p_i) 的概率产生 (i) 个后代（(0 leq i < n)） 现在你有 (k) 个麻球，求(m) 天之后全部死亡的概率（在这之前全部死完也算）。
思路
我们设事件 (L_0, L_1cdots L_{n-1}) 分别为产生 (0, 1cdots n - 1) 个后代， (C) 为全部死亡的概率，则 (P(L_i)=p_i) ，每一天麻球是否死亡相互独立，即 (C) ~ (B(p, n))
设(f(i)) 为 (1) 只麻球 (i) 天内死亡的概率，则 (P(C|L_i)=f(i-1)^j)
由全概率公式
[egin{aligned}
f(i)&=p_0+p_1f(i-1)+p_2f(i-1)^2+cdots+p_{n-1}f(i-1)^{n-1}\
&=sum^{n-1}_{j=0}p_jf(i-1)^j\
end{aligned}
]
所求答案即为 (f(m)^k)
Code
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, k, m;
double p[1005], f[1005];
int main()
{
cin >> n >> k >> m;
for(int i = 0; i < n; i++)
cin >> p[i];
f[1] = p[0];
for(int i = 2; i <= m; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
f[i] += p[j] * pow(f[i - 1], j);
cout << fixed << setprecision(7) << pow(f[m], k);
return 0;
}