已知 $x,y,zin extbf{R}$且$x+y+z=1$
(1)求$(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$的最小值；
(2)若$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2geqslant frac{1}{3}$成立，证明:$aleqslant -3$或$ageqslant -1.$
法一:权方和
(1)$(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2geqslant frac{[(x-1)+(y+1)+(z+1)]^2}{1+1+1}=frac{4}{3}$
(2)因为$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2geqslant frac{[(x-2)+(y-1)+(z-a)]^2}{1+1+1}=frac{(2+a)^2}{3}$
所以(frac{(2+a)^2}{3}geqslantfrac{1}{3},;;)故有(aleqslant -3)或(ageqslant -1.)
法二:化归为点到面的距离
(1)点$(1,-1,-1)$到平面$x+y+z=1$的距离$d=frac{|1-1-1-1|}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}=frac{2}{sqrt{3}},;;$即最小值为$frac{4}{3}$
(2)点$(2,1,a)$到平面$x+y+z=1$的距离$d=frac{|2+1+a-1|}{sqrt{1^2+1^2+1^2}}geqslantfrac{1}{sqrt{3}},;;$故有$aleqslant -3$或$ageqslant -1.$
法三:拉乘法 (6月13日增补内容，只适合竞赛党和自主招生)
(1)令$f(x,y,z)=(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2+m(x+y+z-1),;$则
$left{ egin{array}{ll} f'_x=2(x-1)+m=0 \ f'_y=2(y+1)+m=0\ f'_z=2(z+1)+m=0 \ f'_m=x+y+z-1=0 end{array} ight.$
$Rightarrow left{ egin{array}{ll} x=frac{4}{3} \ y=-frac{1}{3}\ z=-frac{1}{3} end{array} ight.$
$Rightarrow A=cdots=left[ egin{array}{lcr} 2&0&0 \ 0&2&0\ 0&0&2 end{array} ight]=8>0 $
故当$x=frac{4}{3} ,y=-frac{1}{3}, z=-frac{1}{3}$时$(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$取得最小值$frac{4}{3}.$
(2)同(1)易知当$x=frac{4-a}{3} ,y=frac{1-a}{3}, z=frac{2a-2}{3}$时$(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2$取得最小值$frac{(2+a)^2}{3}$
$Rightarrow frac{(2+a)^2}{3}geqslant frac{1}{3},;;$故有$aleqslant -3$或$ageqslant -1.$