当参变分离遇见洛必达

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我校2016$ hicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第21题

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已知函数( extit{f}( extit{x})=dfrac{(2 extit{x}-1);! ext{e}^{2 extit{x}}}{4}-dfrac{ extit{m}}{2} extit{x}^2)和函数( extit{g}( extit{x})= extit{x}ln extit{x}) (其中( ext{e}=2.71828cdots)).

(1)若函数( extit{f}( extit{x}))有两个零点，求( extit{m})的取值范围；

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【分析】函数(f(x))有两个零点(Rightarrow)方程(m=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})有两根

(Rightarrow y=m)与(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})有两个交点

(Rightarrow h(t)=dfrac{2(t-1) ext{e}^{t}}{t^2}(t=2x)Rightarrow h'(t)=dfrac{2(t^2-2t+2) ext{e}^t}{t^3})

(注意：求导的快、准、狠的技巧)

(Rightarrow)函数(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})的草图

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显然，当(x ightarrow -infty)时，(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2} ightarrow 0)(洛必达法则)(Rightarrow m<0)

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(还可以，(x ightarrow -infty)，(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2}=dfrac{2+frac{1}{-x}}{2x ext{e}^{-2x}} ightarrow 0))

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【练习】已知函数(f(x)=(x-2) ext{e}^x+a(x-1)^2)有两个零点.

(1)求(a)的取值范围；(2016年新课标卷I理21题)