常见的均值不等式的使用技巧

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原文作者wanghai

均值不等式这一素材是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。

已知两个正数(a，b)，则有(当且仅当(a=b)时取到等号)

(color{red}{cfrac{2}{cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}}= cfrac{2ab}{a+b}leq sqrt{ab}leq cfrac{a+b}{2}leq sqrt{cfrac{a^2+b^2}{2}}})

(color{blue}{调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数})

【注意】均值不等式的使用 前提条件： 正、定、等同时成立。

均值不等式中还有一个需要注意的地方：(a，bin R)

如已知向量的内积(vec{a}cdotvec{b}=1，)则有人这样做(vec{a}+vec{b} ge 2sqrt{vec{a}cdotvec{b}}=2)，这是错的，因为(vec{a}，vec{b})不是实数，而是向量。

其次应该掌握的使用技巧：
A、(a+bge2sqrt{ab})（要注意理解(a、b)的内涵）如 (a、b)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

(x+cfrac{2}{x}（x>0），cfrac{2}{x}+cfrac{x}{2}（x>0），2^x+2^yge 2sqrt{2^{x+y}}，log_a^b+log_b^a(log_a^b>0)，sinx+cfrac{1}{sinx}(sinx>0))

看了以上这么多的式子，你能想到用一个式子统一刻画吗？仔细想想，再看看是不是能用$ a+bge2sqrt{ab}(a，b>0)$来表示！

B、直接使用型：

形如这样的(x+cfrac{k}{x}（k>0）)

C、变形后使用型：

①负化正， (y=x+cfrac{2}{x} (x<0))

②拆添项， (y=x+cfrac{2}{x-1} (x>1))

③凑系数， (2x+3y=4,) 求(xy)的最大值(xy=cfrac{6xy}{6}=cfrac{(2x)(3y)}{6}leq cfrac{1}{6}cdot Big(cfrac{2x+3y}{2}Big)^2)

【引例1】已知(x>1)，求(f(x)=x+cfrac{1}{x-1})的最小值。

【引例2】已知(a>1，b>0， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+b=3))

【引例3】已知(a>1，b>2， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b-2})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1))

【引例4】已知(a>0，b>0， cfrac{1}{a}+cfrac{1}{b}=1)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{9}{b-1})的最小值。((b=cfrac{a}{a-1}代入，变成关于a的一元，变量集中))

④限定条件下的最值(常数代换,乘常数再除常数），如已知(2a+3b=2，a>0，b>0)，求(cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b})的最小值。

(cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b}=cfrac{1}{2}cdot (2a+3b）(cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b})=cfrac{1}{2}cdot (6+6+cfrac{4a}{b}+cfrac{9b}{a})=cdots)

⑤构造(ax+cfrac{b}{x})型，（此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数）

比如，形如(cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e为常数)xrightarrow[代换法]{配凑法}ax+cfrac{b}{x})型(分子上使用均值不等式)

形如(cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e为常数)xrightarrow[代换法]{配凑法}cfrac{1}{ax+cfrac{b}{x}})型(分母上使用均值不等式)

6、均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性。

D、代数式中同时有(a+b)和(ab)型

比如已知(a，bin R^{+}，a+b-ab+3=0),

1、求(ab)的范围；

解：(ecause -3+ab=a+bge 2sqrt{ab})

( herefore ab-2sqrt{ab}-3ge 0)，

((sqrt{ab}+1)(sqrt{ab}-3) ge 0)

$sqrt{ab}leq -1 或 sqrt{ab}ge 3 $

又(a，bin R^{+})，故 (sqrt{ab}ge 3 (当且仅当a=b=3取到等号))

故(abge 9)

【评析】两元(a+b，ab)变化集中为一元(ab)。

2、求(a+b)的范围；

解：(ecause a+b+3=ab leq (cfrac{a+b}{2})^2，令t=a+b)

(t^2-4t-12 ge 0)，

$t leq -2 或 t ge 6 $

故 (a+b ge 6 (当且仅当a=b=3取到等号))

【评析】两元(a+b，ab)变化集中为一元(a+b)。

【典例】已知实数(a，b，c)满足(a+b+c=9，ab+bc+ac=24)，则(b)的取值范围是[1,5].(变量集中)

解：由于(ab+bc+ac=(a+c)b+ac=24)

故(ac=24-(a+c)b leq (cfrac{a+c}{2})^2)

故(24-(a+c)b leq (cfrac{a+c}{2})^2)，(三元变成了两个元(a+c，b))

又因为(a+c=9-b)，

即(24-(9-b)b leq cfrac{(9-b)^2}{4}),(两元(a+c，b)变成了一元(b))

即(b^2-6b+5 leq 0)

解得(1leq b leq 5)

后续补充