圆内接三角形(X神的代码玩的真好)

设$S$为半径等于$1$的圆内接三角形的面积，则$4S+dfrac 9S$的最小值是_______．

【分析与解】

先证明$S$的最大值为$dfrac{3sqrt 3}4$．设$ riangle ABC$内接于单位圆$O$，且顶点按逆时针排列．设弧$AB,BC,CA$所对的圆心角分别为$alpha$，$eta$，$2pi -alpha-eta$，不妨设$alpha,etain (0,pi]$，则[egin{split} S&leqslant dfrac 12left[sinalpha+sineta-sinleft(alpha+eta ight) ight]\
&leqslant dfrac 12left[left(1-coseta ight)sinalpha-sinetacosalpha+sineta ight]\
&leqslant dfrac 12left[sqrt{(1-coseta)^2+sin^2eta}+sineta ight]\
&=dfrac 12left[sqrt{2-2coseta}+sineta ight]\
&=sindfrac{eta}2left(1+cosdfrac{eta}2 ight)
,end{split} ]令$t=1+cosdfrac{eta}2$，则$tin[1,2)$，有$$Sleqslant tsqrt{1-(t-1)^2}=sqrt{t^3(6-3t)}cdotdfrac{1}{sqrt 3}leqslant dfrac{3sqrt 3}4,$$当$ riangle ABC$为正三角形取得等号．因此$S$的最大值为$dfrac{3sqrt 3}4$，而在$left(0,dfrac{3sqrt 3}4 ight]$上，$4S+dfrac{9}S$单调递减，于是所求的最小值为$$left.left(4S+dfrac 9S ight) ight|_{S=frac{3sqrt 3}4}=7sqrt 3.$$

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以上内容来自X神，我仅仅是复制粘贴了其中的代码！

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