绵阳市2014级三诊12题(理科)

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已知函数(f(x)=2ln x-ax^2+3)，若存在实数(m,nin [1,5])满足(n-mgeqslant 2)时，(f(m)=f(n))成立，则实数(a)的最大值是(underline{qquadqquadlacktriangleqquadqquad}.)

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我的解法：

由题可知(2ln m-am^2+3=2ln n-an^2+3Rightarrow dfrac{2}{a(m+n)}=dfrac{m-n}{ln m-ln n}< dfrac{m+n}{2})(对数平均值不等式)

(Rightarrow dfrac{m+n}{2}< dfrac{1}{sqrt{a}}Rightarrow)极值点(x_0=dfrac{1}{sqrt{a}})左偏，

(Rightarrow f(3)geqslant f(1)Rightarrow aleqslant dfrac{ln 3}{4}.)

有空我再配个图！

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另一牛X老师的解法(我估计命题老师就想考这种方法)：

(2ln m-am^2+3=2ln n-an^2+3Rightarrow a=dfrac{ln m^2-ln n^2}{m^2-n^2})

看结构，构造函数(g(x)=ln x),则(a)的几何意义为点((m^2,g(m^2)))与点((n^2,g(n^2)))连线的斜率，其余不用我多讲了吧！

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