成都市2014级三诊第16题(理科)

将一块半径为(2)的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底(AB)为半圆的直径，上底(CD)的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为(underline{qquadlacktriangleqquad}.)

魏刚 2017年5月8日於狮子山上

我的解法1：

###$1=sin^2dfrac{ heta}{2}+cos^2dfrac{ heta}{2}=sin^2dfrac{ heta}{2}+dfrac{1}{3}cos^2dfrac{ heta}{2} +dfrac{1}{3}cos^2dfrac{ heta}{2}+dfrac{1}{3}cos^2dfrac{ heta}{2}geqslant 4sqrt[4]{dfrac{1}{3^3}sin^2dfrac{ heta}{2}cos^6dfrac{ heta}{2}}$

$Rightarrow

sindfrac{ heta}{2}cos^{3dfrac{ heta}{2}leqslantdfrac{3}{frac{3}{2}}}{16}$

以(AB)的中点(O)为坐标原点建系，设梯形的面积为(S)，则(C(2cos heta,2sin heta)),(B(2,0))

(Rightarrow S=4sin heta(cos heta+1)=16sindfrac{ heta}{2}cos^3dfrac{ heta}{2}leqslant 3^{frac{3}{2}}=3sqrt{3})

我的解法2：

以(AB)的中点(O)为坐标原点建系，设梯形的面积为(S)，则(C(2cos heta,2sin heta)),(B(2,0))

(Rightarrow S=4sin heta(cos heta+1))

(Rightarrow S^{prime}=4(2cos^2 heta+cos heta-1)=0)

(Rightarrow cos heta=dfrac{1}{2},sin heta=dfrac{sqrt{3}}{2})

(Rightarrow S)的最大值为(3sqrt{3}.)

多数学生的做法：

猜，猜(OBC)为正三角形的时候最大(.)

牛X学生的做法：

圆的内接(n)边形的面积最大时(,)该(n)边形为正(n)边形(.)

巴中吴老师的做法：

面积的呈现方式还是不错的(,)但是后面的解法(cdotscdots)

这个问题也就是(:)已知(x^2+2y^2=4,)求(dfrac{(x+4)y}{2})的最大值(.)(以下用自主招生考试的常用解法)

$Rightarrow left{

           egin{array}{ll}
            x^2+2y^2-4=0 cdots& hbox{ding{192}}\
             dfrac{(x+4)y}{2}
           end{array}
         
ight.$

(Rightarrow dfrac{2x}{y}=dfrac{8y}{x+4}cdots)ding{193}

由(ding{192})和(ding{193})可得

当(x=2,y=sqrt{3})时(,S=dfrac{(x+4)y}{2})的最大值为(3sqrt{3}.)