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  • 2018届成都市二诊数学(文)21题第二问的另类证法(切线放缩法)

    题(2)当(xin (1,+infty))时,求证:(dfrac{ ext{e}(x-1)}{ ext{e}^x}<ln x<x^2-x).

    (ding{192})函数(y=dfrac{ln x}{x})(x=1)处切线放缩(Rightarrow dfrac{ln x}{x}leqslant x-1)

    (Rightarrow ln x<x^2-x)(其中(x>1))

    (ding{193})函数(y=x ln x)(x=1)处切线放缩(Rightarrow xln xgeqslant x-1)

    (Rightarrow ln x>dfrac{x-1}{x}>dfrac{ ext{e}(x-1)}{ ext{e}^x})(其中(x>1))

    其中函数(y= ext{e}^x)(x=1)处切线放缩(Rightarrow ext{e}^xgeqslant ext{e}xRightarrow)(x>1)( ext{e}^x> ext{e}x)

    其中左端还可以直接使用:函数(y=dfrac{ ext{e}^x ln x}{ ext{e}})(x=1)处切线放缩$ Rightarrow dfrac{ ext{e}^x ln x}{ ext{e}} geqslant x-1(x>1) $

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