A Short Equation in Reciprocals

找出所有满足1/x+1/y=1/z的三元正整数解（x,y,z）                                

方程等价变形为：z=xy/(x+y)，记d=gcd(x,y)   ---- 最大公约数

于是，x=dm,  y=dn,  其中gcd(m,n)=1.

紧接着，gcd(mn,m+n)=1,于是

z=dmn/(m+n),   表明(m+n)|d, 例如：d=k(m+n)，k是一个正整数.

于是我们就可以得到如下解：

x=km(m+n),  y=kn(m+n), z=kmn,

其中三个参数：k,m,n都是正整数.

注意：

假如a,b,c没有公因子，并且满足1/a+1/b=1/c, 于是a+b是一个完全平方数.  

事实上，通过前面的解，k=1, a=m(n+m), b=n(n+m), a+b=(m+n)²

假如a,b,c满足1/a+1/b=1/c, 于是a²+b²+c²是一个完全平方数                  

 事实上，

a² + b² + c²= k²[m²(m + n)² + n²(m + n)² + m²n²

                  = k²[(m + n)⁴ - 2mn(m + n)² + m²n²]

                  = k²[(m + n)² - mn]².