动态规划（4）——最长上升子序列（作业题NYOJ201）

作业题

描述

小白同学这学期有一门课程叫做《数值计算方法》，这是一门有效使用数字计算机求数学问题近似解的方法与过程，以及由相关理论构成的学科……

今天他们的Teacher S，给他们出了一道作业题。Teacher S给了他们很多的点，让他们利用拉格朗日插值公式，计算出某严格单调函数的曲线。现在小白抄下了这些点，但是问题出现了，由于我们的小白同学上课时走了一下神，他多抄下来很多点，也就是说这些点整体连线不一定还是严格递增或递减的了。这可怎么处理呢。为此我们的小白同学制定了以下的取点规则：

1、取出尽可能多的满足构成严格单调曲线的点，作为曲线上的点。

2、通过拉格朗日插值公式，计算出曲线的方程

但是，他又遇到了一个问题，他发现他写下了上百个点。[- -!佩服吧],这就很难处理了(O_O).。由于拉格朗日插值公式的计算量与处理的点数有关，因此他请大家来帮忙，帮他统计一下，曲线上最多有多少点，以此来估计计算量。

已知：没有任何两个点的横坐标是相同的。

输入

本题包含多组数据：
首先，是一个整数T，代表数据的组数。
然后，下面是T组测试数据。对于每组数据包含两行：
第一行：一个数字N(1<=N<=999),代表输入的点的个数。
第二行：包含N个数对X(1<=x<=10000),Y(1<=Y<=10000),代表所取的点的横纵坐标。

输出

每组输出各占一行，输出公一个整数，表示曲线上最多的点数

样例输入

2
2
1 2 3 4
3
2 2 1 3 3 4

样例输出

2
2
思路：
    在曲线上的点要么随着x的增大而递增，要么随着x的增大而递减。小白多抄了点，所以就要求题目给出的点按照x排序之后的y的序列的最长上升子序列和最长下降子序列的长度中较大的那个。
难点：
    想到是求最长上升子序列和最长下降子序列中交长的那个值；
下面是AC代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct A                 //点的结构体
{
    int x;
    int y;       
}num[1005];             //存点的数组
int dp1[1005];          //存上升子序列元素数目的数组
int dp2[1005];          //存下降子序列元素数目的数组
int cmp(A n1,A n2)      //排序中的比较函数，按x递增排序
{
    if(n1.x<n2.x)
    {
        return 1;             
    }
    else
        return 0;
}
int main()           
{
    int n;
    scanf("%d",&n);//n组测试数据
    while(n--)
    {
        int m;//每组m个数
        scanf("%d",&m);
        memset(num,0,sizeof(num));//初始化
        memset(dp1,0,sizeof(dp1)); 
        memset(dp2,0,sizeof(dp2));
        for(int i=0;i<m;i++)//输入
        {
            scanf("%d%d",&num[i].x,&num[i].y);        
        }
        sort(num,num+m,cmp);//排序
        int ans1=0;int ans2=0; 
        for(int i=1;i<m;i++)//自底向上求解最长上升下降子序列元素数目
        {
            ans1=0;ans2=0;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                if(num[i].y>num[k].y&&dp1[k]+1>ans1) //上升
                    ans1=dp1[k]+1;
                if(num[i].y<num[k].y&&dp2[k]+1>ans2) //下降
                    ans2=dp2[k]+1;
            }
            dp1[i]=ans1;
            dp2[i]=ans2;        
        } 
        for(int i=0;i<m;i++)//查找最长上上升子序列的元素数目
        {
            if(ans1<dp1[i])
                ans1=dp1[i];        
        }
        for(int i=0;i<m;i++)//查找最长下降子序列的元素数目
        {
            if(ans2<dp2[i])
                ans2=dp2[i];        
        }
        
        printf("%d
",(ans1>ans2?ans1:ans2)+1);//输出，要加上第一个
    }
    system("pause");
    return 0;
}