动态规划（6）——NYOJ469擅长排列的小明II*

擅长排列的小明 II

描述

小明十分聪明，而且十分擅长排列计算。

有一天小明心血来潮想考考你，他给了你一个正整数n，序列1,2,3,4,5......n满足以下情况的排列：

1、第一个数必须是1

2、相邻两个数之差不大于2

你的任务是给出排列的种数。

输入

多组数据。每组数据中输入一个正整数n（n<=55）.

输出

输出种数。

样例输入

4

样例输出

4
思路：
设这个排列为A:
1、A1肯定一直为1，所以A2要么是2要么是3；
2、当A2=2时，从A2到An的排列数（2到n）相当于从A1到An-1的排列数（1到n-1）(把2到n每个数字都减一),所以共有dp[n-1]种情况;
3、当A2=3时候，A3可能为2,4,5:
    当A3=2时，A4一定等于4,此时从4到n的排列相当于从1到n-3的排列（把4到n的每个数字都减三），共有dp[n-3]种情况；
    当A3=4时，A4无论取不取2,它之后的队列都不能保证相邻数字相差小于等于2,故此种情况不会发生。
    当A3=5时，排列就只有1中情况：1,3,4,7,9，……，10,8,6,4,2这一种情况发生；
所以，dp[n]=dp[n-1]+dp[n-3]+1;

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int dp[60];

int main()
{
    int n;
    dp[1]=1;
    dp[2]=1;
    dp[3]=2;
    for(int i=4;i<=55;i++)
    {
        dp[i]=dp[i-1]+dp[i-3]+1;
    }
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        printf("%d
",dp[n]);
    }

    return 0;
}