题160914（15分）现有一个向右方和下方无限延伸的方格数表，其中第$1$行前两数依次为$4$、$7$，第$2$行前两数依次为$7$、$12$，且该数表的任意一行及任意一列的各数依次成等差数列．
（1）求方格表中位于第$20$行第$16$列的数；
（2）证明：正整数$s$出现在数表中，当且仅当$2s+1$是合数．
题目来源：2016年高联全国C卷
解：由题知，设方格表中位于第$m$行第$n$列的数为${{a}_{mn}}$，
第一列的首项为$4$，公差为$3$，故${{a}_{m1}}=3m+1$；
第二列的首项为$7$，公差为$5$，故${{a}_{m2}}=5m+2$；
故第$m$行的公差为${{a}_{m2}}-{{a}_{m1}}=2m+1$，
因此${{a}_{mn}}={{a}_{m1}}+left( n-1 ight)left( 2m+1 ight)$$=left( 3m+1 ight)+left( n-1 ight)left( 2m+1 ight)$，
即${{a}_{mn}}=2mn+m+n$．
（1）方格表中位于第$20$行第$16$列的数为
$2 imes 20 imes 16+20+16=676$；
（2）若$s=2mn+m+n$，则
$2s+1=4mn+2m+2n+1=left( 2m+1 ight)left( 2n+1 ight)$，
因为$m,nin {{N}^{*}}$，所以$2s+1$必为合数；
反之，若$2s+1$为合数，则存在正整数$p,q>1$，有$2s+1=pq$，
因为$2s+1$为奇数，所以$p,q$均为大于$1$的奇数，
不妨设$p=2u+1$，$q=2v+1$，其中$u,vin {{N}^{*}}$，
则$2s+1=left( 2u+1 ight)left( 2v+1 ight)$$Rightarrow $$s=2uv+u+v$，
故正整数$s$出现在数表中．
综上，命题成立．