递归与记忆化搜索

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，1,2,ldots ,n1,2,…,n（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 nn。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 nn，计算并输出由操作数序列 1,2,ldots,n1,2,…,n 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 nn（1 leq n leq 181≤n≤18）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

输入输出样例

输入：3

输出：5

记忆化搜索：

记忆化搜索实际上是递归来实现的，但是递归的过程中有许多的结果是被反复计算的，这样会大大降低算法的执行效率。

而记忆化搜索是在递归的过程中，将已经计算出来的结果保存起来，当之后的计算用到的时候直接取出结果，避免重复运算，因此极大的提高了算法的效率。

思路是递归搜索，由当前状态向可能的状态搜索，当前状态的结果=几个下一个状态搜索结果的和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 20
const int inf = 0x3f3f3f3f;
//f[i][j]:队列中还有i个元素，栈中有j个元素时的种类数
long n, f[20][20];
long dfs(int i, int j) {
    if (f[i][j] != 0) return f[i][j];
    if (i == 0) return 1;//队列为空，只有一种
    if (j > 0) f[i][j] += dfs(i, j - 1);//栈不空时可以到达的状态
    f[i][j] += dfs(i - 1, j + 1);
    return f[i][j];
}
int main() {
    cin >> n;
    printf("%d", dfs(n, 0));
}

P1434 [SHOI2002]滑雪

题目描述

Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪，因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：

1   2   3   4   5
16  17  18  19  6
15  24  25  20  7
14  23  22  21  8
13  12  11  10  9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度会减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为 2424－1717－1616－11（从 2424 开始，在 11 结束）。当然 2525－2424－2323－ldots…－33－22－11 更长。事实上，这是最长的一条。

输入格式

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 RR 和列数 CC。下面是 RR 行，每行有 CC 个数，代表高度(两个数字之间用 11 个空格间隔)。

输出格式

输出区域中最长滑坡的长度。

输入输出样例

输入 #1复制

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出 #1复制

25

说明/提示

对于 100\%100% 的数据，1leq R,Cleq 1001≤R,C≤100。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 2000
#define ll long long
using namespace std;
int dx[4] = { 0,0,1,-1 };
int dy[4] = { 1,-1,0,0 };
int n, m, a[201][201], s[201][201], ans;
int dfs(int x, int y) {
    if (s[x][y])return s[x][y];//记忆化搜索
    s[x][y] = 1;//题目中有算
    for (int i = 0; i < 4; i++)
    {
        int xx = dx[i] + x;
        int yy = dy[i] + y;
        if (xx > 0 && yy > 0 && xx <= n && yy <= m && a[x][y] > a[xx][yy]) {
            dfs(xx, yy);
            s[x][y] = max(s[x][y], s[xx][yy] + 1);
        }
    }
    return s[x][y];
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            ans = max(ans, dfs(i, j));
    printf("%d", ans);
    return 0;
}