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第六章：用利率期货对冲
思维导图
转换因子释疑
转换因子是特定假设下可交割券全价与标准券全价的比值，用该比值近似真实情况下可交割券全价与标准券全价的比例关系。
标准券有 6% 的票息率，每半年付息一次，发行日为期货合约到期月份的首个交割日。若发行日期限结构保持水平，利率为 6%，则标准券全价是 $100，可交割券（到期月份要向下取整到 0 月）全价是，
[
frac{c imes 100}{2} left(frac{1}{0.03} - frac{1}{0.03(1+0.03)^{2n}}
ight) + frac{100}{0.03(1+0.03)^{2n}}
]
转换因子等于，
[
CF_0 = frac{c}{2} left(frac{1}{0.03} - frac{1}{0.03(1+0.03)^{2n}}
ight) + frac{1}{0.03(1+0.03)^{2n}}
]
其他情况类似。
因此，国债期货的机制可以理解为：以标准券为基准，为所有可交割券估价。若期货合约价格 (FP)，CTD 的转换因子是 (CF)，那么交割时多头相当于用净价 (FP imes CF) 购买了 CTD。
利率期货久期向量的推导
Eurodollar 期货的久期向量
未来 (s) 年的 (t) 年期远期利率 (f(s, s+t)) 和瞬时远期利率 (f(s)) 之间存在关系：
[
f(s,s+t)t = int_{s}^{s+t}f(x)dx\
Delta f(s,s+t)t = int_{s}^{s+t}Delta f(x)dx
]
（连续复利）期货利率 (f^*) 和远期利率 (f) 之间存在“凸性修正”关系：
[
f(s,s+t) = f^*(s,s+t) - frac{1}{2} sigma^2 s(s+t)
]
所以
[
Delta f(s,s+t) = Delta f^*(s,s+t)
]
已知：
[
CP = 1000000[1-(100-Q)/400]\
q=100-Q\
]
那么
[
Delta CP = -2500 imes Delta q
]
如果（连续复利）期货利率由 (f^*(s,s+90/365)) 变为 (f^{* prime}(s,s+90/365))（记 (Delta f^{*} = f^{* prime} - f^{*})），那么
[
egin{aligned}
Delta q &=q^{prime} - q\
&= (e^{f^{* prime}(s,s+90/365) imes(90/365)} - e^{f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)}) imes 400\
&=e^{f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)}(e^{Delta f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)} - 1) imes 400\
end{aligned}
]
根据 (e^x - 1 approx x)，
[
egin{aligned}
Delta CP &= -2500 imes Delta q\
&=-1000000 imes e^{f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)}(e^{Delta f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)} - 1)\
&approx -1000000 imes e^{f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)} Delta f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)\
&=-1000000 imes ((100-Q)/400+1)Delta f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365)\
end{aligned}
]
如果：
[
Delta y(t) = Delta A_0 + Delta A_1 t + Delta A_2 t^2 + Delta A_3 t^3 + cdots\
Delta f(t) = Delta A_0 + 2Delta A_1 t + 3Delta A_2 t^2 + 4Delta A_3 t^3 + cdots
]
那么
[
egin{aligned}
&Delta f^{*}(s,s+90/365) imes(90/365) \
&= Delta f(s,s+90/365) imes(90/365)\
&=int_{s}^{s+90/365} Delta f(t)dt\
&=int_{s}^{s+90/365} Delta A_0 + 2Delta A_1 t + 3Delta A_2 t^2 + 4Delta A_3 t^3 + cdots dx\
&=Delta A_0(90/365) + Delta A_1left[(s+90/365)^2-s^2
ight] + Delta A_2left[(s+90/365)^3-s^3
ight] + Delta A_3left[(s+90/365)^4-s^4
ight] + cdots
end{aligned}
]
最终
[
frac{Delta CP}{CP} = -D^f(1) imes Delta A_0 -D^f(2) imes Delta A_1 -D^f(3) imes Delta A_2 + cdots\
egin{aligned}
D^f(1) &= K(Q) imes(90/365)\
D^f(2) &= K(Q) imes[(s+90/365)^2-s^2]\
D^f(3) &= K(Q) imes[(s+90/365)^3-s^3]\
end{aligned}
\
K(Q)=left(1+frac{100-Q}{400}
ight) / left(1-frac{100-Q}{400}
ight)=frac{500-Q}{300+Q}
]
国债期货的久期向量
记：
- (T) = CTD 的剩余期限
- (C) = CTD 的票息现金流（非年化）
- (F) = CTD 的面额
- (CF) = CTD 的转换因子
- (CP) = CTD 的全价
- ( au) = 期货到期日与期货到期后债券首个付息日之间的距离
- (s) = 期货到期日
- (n) = 截止到期货到期日发生的付息次数
- (y(t))：瞬时即期期限结构
- 默认付息两次（美式规则）
那么，国债期货的价格是：
[
egin{aligned}
FP &=frac{1}{CF} (CP - AI)\
&= frac{1}{CF}
left(
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}} +
frac{F}{e^{T imes y(T)}}
ight)e^{s imes y(s)} -
frac{C}{CF} imes frac{0.5- au}{0.5}
end{aligned}
]
如果 (y) 变化到 (y^{prime})（记 (Delta y = y^{prime}-y)），那么
[
egin{aligned}
Delta FP &= FP^{prime} - FP\
&= frac{1}{CF}
left(
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y^{prime}(s + au + t imes 0.5)}} +
frac{F}{e^{T imes y^{prime}(T)}}
ight)e^{s imes y^{prime}(s)} \
& -frac{1}{CF}
left(
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}} +
frac{F}{e^{T imes y(T)}}
ight)e^{s imes y(s)}\
&=frac{1}{CF}left(
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}}left(e^{s imes Delta y(s) - (s + au + t imes 0.5) imesDelta y(s + au + t imes 0.5)} -1
ight) +
frac{F}{e^{T imes y(T)}}left(e^{s imes Delta y(s) - T imesDelta y(T)} -1
ight)
ight)e^{s imes y(s)}
end{aligned}
]
根据 (e^x - 1 approx x)，
[
egin{aligned}
Delta FP &approx \
&frac{1}{CF}
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C e^{s imes y(s)}}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}}
[{s imes Delta y(s) - (s + au + t imes 0.5) imesDelta y(s + au + t imes 0.5)} ] \
&+ frac{F e^{s imes y(s)}}{{T imes y(T)}}left[{s imes Delta y(s) - T imesDelta y(T)}
ight]
end{aligned}
]
如果：
[
Delta y(t) = Delta A_0 + Delta A_1 t + Delta A_2 t^2 + Delta A_3 t^3 + cdots
]
那么
[
egin{aligned}
&Delta FP approx \
&frac{1}{CF}
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{C e^{s imes y(s)}}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}}
imes\
&left{{s imes (Delta A_0 + Delta A_1 s + Delta A_2 s^2 + Delta A_3 s^3 +cdots) - (s + au + t imes 0.5) imes left[Delta A_0 + Delta A_1 (s + au + t imes 0.5) + Delta A_2 (s + au + t imes 0.5)^2 + Delta A_3 (s + au + t imes 0.5)^3 +cdots
ight]}
ight} \
&+frac{F e^{s imes y(s)}}{{T imes y(T)}}left[s imes (Delta A_0 + Delta A_1 s + Delta A_2 s^2 + Delta A_3 s^3+cdots) - T imes (Delta A_0 + Delta A_1 T + Delta A_2 T^2 + Delta A_3 T^3+cdots)
ight]
end{aligned}
]
最终
[
egin{aligned}
frac{Delta FP}{FP} &approx -D(1) imes Delta A_0 -D(2) imes Delta A_1 -D(3) imes Delta A_2 - cdots - D(M) imes Delta A_{M-1} -cdots\
D(m)&= frac{e^{s imes y(s)}}{CF imes FP}
left(
sum_{t=0}^{2(T-s- au)}frac{Cleft((s+ au+t imes 0.5)^m - s^m
ight)}{e^{(s + au + t imes 0.5) imes y(s + au + t imes 0.5)}} +
frac{F(T^m - s^m)}{e^{T imes y(T)}}
ight)\
m&=1,2,3,dots,M
end{aligned}
]