仿射期限结构模型：理论与实现——理论部分
本文是 Affine Term-Structure Models: Theory and Implementation 的阅读笔记，摘录一些关键结论与公式。
1 引言
期限结构建模涉及两类截然不同又相互关联的问题。
- 为一组债券价格拟合即期利率曲线。
- 模拟利率期限结构的动态过程。
期限结构模型应满足的三个条件：
- 模型能反映期限结构的动态特征。
- 存在解析表达式。
- 参数容易估计。
2 理论发展
2.1 一些关键利率的关系
固收分析的最基础模块是无风险零息债券。
记无风险零息债券的价格是 (P(t,T))，(t) 表示当前时间，(T) 表示债券到期日，连续复利的零息利率 (z(t,T)) 为：
[z(t,T) = -frac{ln P(t,T)}{T-t}
]
瞬时利率记为 (r(t))，即 (z(t,T)) 的极限：
[r(t) = lim_{T o t} z(t,T) = -frac{partial ln P(t,t)}{partial t}
]
而
[P(t,T) = E(e^{-int_t^T r(s)ds}|mathcal{F}_t)
]
2.2 仿射模型的基本结构
仿射模型的出发点是用随机过程描述状态变量（或称为因子），而这些状态变量驱动了期限结构。对于单因子模型来说，瞬时利率便是唯一的状态变量。
记状态变量的 SDE 为：
[d y(t) = A_0 dt + A_1 d W(t)
]
瞬时利率与期限结构之间的关系并不显而易见，两者通过"无套利原理"联系起来。仿照 Black-Scholes 等式的推导过程，可以得到一个有关零息债券价格的 PDE，这个 PDE 将状态变量和利率期限结构（等价地，零息债券价格）联系起来。
推导 BS 等式的思路——对冲：
未定权益（期权）和底层资产构造一个"自融资"（self-financing）组合，选择合适的动态权重保证组合的收益率没有随机性，此时组合收益率将等于无风险利率，进而得到关于未定权益的 PDE。
为确保 PDE 有解且唯一，需要对 (A_0) 和 (A_1) 的形式做出限制。作为一个特例，可以要求 (A_0) 和 (A_1^2) 是"仿射形式"（affine form）的。
(A_1^2) 与 PDE 中的二次导数项相伴而生，故而要求 (A_1^2) 是仿射形式的。
仿射期限结构模型的主要文献：
- Vasicek, O. (1977): "An Equilibrium Characterization of the Term Structure," Journal of Financial Economics, 5, 177–188.
- Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985a): "An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices," Econometrica, 53, 363–384.
- Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985b): "A Theory of Term Structure of Interest Rates," Econometrica, 53, 385–407.
- Longstaff, F. A., and E. S. Schwartz (1992a): "Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two-Factor General Equilibrium Model," The Journal of Finance, XLVII, 1259–1282.
- Longstaff, F. A., and E. S. Schwartz (1992b): "A Two-Factor Interest Rate Model and Contingent Claims Evaluation," The Journal of Fixed Income, pp. 16–23.
- Duffie, D., and R. Kan (1996): "A Yield-Factor Model of Interest Rates," Mathematical Finance, 6, 379-406.
对仿射期限结构模型的批评：
- 对当前观测到的期限结构数据拟合不佳。事实上，仿射模型关注的是期限结构的时间序列特性，而不是横截面（cross-sectional）特性。
- 仿射模型是内在“线性的”。即期利率与状态变量之间是线性关系。
2.3 单因子模型
记瞬时利率的 SDE 为：
[d r(t) = f(r,t) dt +
ho(r,t) dW(t)
]
由 (r(t)) 的马尔可夫性，(P (t, T)) 将是 (r(t)) 的函数：
[egin{aligned}
P(t,T)&=P(t,T, r)\
d P(t,T,r) &= left(P_t + f P_r + frac{
ho^2}{2}P_{rr}
ight)dt +
ho P_r d W(t)
end{aligned}
]
用对冲的思路推导债券的 PDE：
由于 (r(t)) 不是可交易资产，考虑用两个不同期限的债券构造自融资组合：
[egin{aligned}
V &= P_1 + h P_2\
dV &= d P_1 + h d P_2
end{aligned}
]
记
[d P = mu dt + sigma dW
]
则
[egin{aligned}
dV &= d P_1 + h d P_2\
&= mu_1 dt + sigma_1 dW + h(mu_2 dt + sigma_2 dW)
end{aligned}
]
若令 (h = -frac{sigma_1}{sigma_2})
[egin{aligned}
dV &= d P_1 + h d P_2\
&= left( mu_1 - frac{sigma_1}{sigma_2} mu_2
ight)dt\
end{aligned}
]
要达到无套利，需要要求
[dV = rVdt
]
则
[mu_1 - frac{sigma_1}{sigma_2} mu_2 = rleft(P_1 - frac{sigma_1}{sigma_2} P_2
ight)
]
对任意两个期限都成立，所以
[frac{mu_1 - rP_1}{sigma_1} = frac{mu_2 - rP_2}{sigma_2}
]
仅是 (t) 和 (r) 的函数 (lambda(t,r))，称为"利率风险的市场价格"。再根据 Ito 公式得到得到 PDE：
[P_t + (f-
ho lambda(t,r))P_r + frac{
ho^2}{2}P_{rr} - rP=0
]
上述 PDE 的解 (P(t,T,r)) 是 ( au(=T-t)) 与 (r) 的函数。
对于 Vasicek 模型：
[egin{aligned}
d r(t) &= kappa( heta -r(t))dt + sigma dW\
P( au, r) &= exp(A( au)-B( au)r)\
B( au) &= frac{1}{kappa}(1-e^{-kappa r})\
A( au) & = frac{gamma(B( au)- au)}{kappa^2}-frac{sigma^2 B( au)^2}{4kappa}\
gamma &= kappa^2 left( heta-frac{sigma lambda}{kappa}
ight) - frac{sigma^2}{2}
end{aligned}
]
对于 CIR 模型：
[egin{aligned}
d r(t) &= kappa( heta -r(t))dt + sigma sqrt{r(t)} dW\
P( au, r) &= exp(A( au)-B( au)r)\
B( au) &= frac{2(e^{gamma au}-1)}{(gamma+kappa+lambda)(e^{gamma au}-1)+2gamma}\
A( au) &= {frac{2kappa heta}{sigma^2}}ln left(
frac{2gamma e^{frac{(gamma+kappa+lambda) au}{2}}}{(gamma+kappa+lambda)(e^{gamma au}-1)+2gamma}
ight)\
gamma &= sqrt{(kappa+lambda)^2+2sigma^2}
end{aligned}
]
2.4 多因子模型
瞬时利率是 (n) 个因子的和：
[r = sum_{i=1}^n y_i
]
每个因子的 SDE：
[d y_i(t) = f_i(y_i,t) dt +
ho_i(y_i,t) dW_i(t)
]
记
[dP_i = mu_i dt + sigma_i^T imes dW
]
(W) 是 (n) 维布朗运动，(d W_i dW_j =
ho_{i,j}dt)。
用对冲的思路推导债券的 PDE：
用 (n+1) 个不同期限的债券构造自融资组合：
[egin{aligned}
dV &= d P_0 + h^T imes d P\
&= mu_0 dt + sigma_0^T imes dW + h^T imes mu dt + h^T imes sigma imes dW\
mu &= [mu_1,dots,mu_n]^T\
dW &= [dW_1,dots,dW_n]^T\
sigma &= egin{bmatrix}
sigma_{1,1} & cdots & sigma_{1,n}\
vdots & & vdots \
sigma_{n,1} & cdots & sigma_{n,n}
end{bmatrix}
end{aligned}
]
若令
[h = -(sigma^T)^{-1} imes sigma_0
]
[egin{aligned}
dV &= d P_0 + h^T imes d P\
&= left(mu_0 - sigma_0^T imes sigma^{-1} imesmu
ight)dt\
end{aligned}
]
要达到无套利，需要要求
[dV = rVdt
]
则
[mu_0 - rP_0 = sigma_0^T imes sigma^{-1} imes(mu - rP)
]
对任意 (n+1) 个期限都成立，所以
[sigma^{-1} imes(mu - rP)
]
仅是 (t) 和 (y_i) 的函数向量，称为"利率风险的市场价格"，记为 (lambda)。再根据 Ito 公式得到得到 PDE：
[P_t + sum_{i} P_{y_i}f_i + frac{1}{2}sum_{i,j}P_{y_i,y_j}
ho_i
ho_j
ho_{i,j} - sum_i P_{y_i}
ho_i lambda_i - rP = 0
]
上述 PDE 的解 (P(t,T,y)) 是 ( au(=T-t)) 与 (y) 的函数。
对于 Vasicek 模型：
[egin{aligned}
d y_i(t) &= kappa_i( heta_i -y_i(t))dt + sigma_i dW_i\
P( au, y) &= exp(A( au)-sum_{i=1}^n B_i( au)y_i)\
B_i( au) &= frac{1}{kappa_i}(1-e^{-kappa_i au})\
A( au) & = sum_{i=1}^n frac{gamma_i(B_i( au)- au)}{kappa_i^2}-frac{sigma_i^2 B( au)^2}{4kappa_i}\
gamma_i &= kappa_i^2 left( heta_i-frac{sigma_i lambda}{kappa_i}
ight) - frac{sigma_i^2}{2}
end{aligned}
]
(W) 是 (n) 维标准布朗运动，(lambda) 是常数。
对于 CIR 模型：
[egin{aligned}
d y_i(t) &= kappa_i( heta_i -y_i(t))dt + sigma_i sqrt{y_i(t)} dW_i\
P( au, y) &= exp(A( au)-sum_{i=1}^n B_i( au)y_i)\
B_i( au) &= frac{2(e^{gamma_i au}-1)}{(gamma_i+kappa_i+lambda_i)(e^{gamma_i au}-1)+2gamma_i}\
A( au) &= sum_{i=1}^n{frac{2kappa_i heta_i}{sigma_i^2}}ln left(
frac{2gamma_i e^{frac{(gamma_i+kappa_i+lambda_i) au}{2}}}{(gamma_i+kappa_i+lambda_i)(e^{gamma_i au}-1)+2gamma_i}
ight)\
gamma_i &= sqrt{(kappa_i+lambda_i)^2+2sigma_i^2}
end{aligned}
]
(W) 是 (n) 维标准布朗运动，(lambda) 是常数。
3 模型实现
用卡尔曼滤波研究债券价格和状态变量之间的关系，进而估计模型参数。
3.1 卡尔曼滤波简介
卡尔曼滤波应用于仿射期限结构的主要文献：
- Duan, J.-C., and J.-G. Simonato (1995): "Estimating and Testing Exponential-Affine Term Structure Models by Kalman Filter," Discussion paper, Centre universitaire de recherche et analyze des organizations (CIRANO).
- Lund, J. (1997): "Econometric Analysis of Continuous-Time Arbitrage-Free Models of the Term Structure of Interest Rates," Department of Finance, The Aarhus School of Business.
- Geyer, A. L. J., and S. Pichler (1998): "A State-Space Approach to Estimate and Test Multifactor Cox-Ingersoll-Ross Models of the Term Structure of Interest Rates," Department of Operations Research, University of Economics Vienna.
- de Jong, F. (1998): "Time-Series and Cross-Section Information in Affine Term Structure Models," Department of Financial Management, University of Amsterdam.
- Babbs, S. H., and K. B. Nowman (1999): "Kalman Filtering of Generalized Vasicek Term Structure Models," Journal of Financial and Quantitative Analysis, pp. 115–130.
在期限结构问题的语境下，卡尔曼滤波中的
- 观测系统指零息利率与状态变量之间的关系，
- 转移系统指状态变量的动态过程。
观测系统和转移系统合起来构成模型的状态空间，卡尔曼滤波根据零息利率（观测系统）递归的推断无法观测的状态变量（转移系统），最后通过最大化似然函数来估计模型参数。
3.2 状态空间表示
(n) 个零息利率 (z_1,dots,z_n) 的期限分别是 (t_{z_1},dots,t_{z_n})，(z(s,T)) 表示 (s) 时观测到的期限为 (T) 的即期利率。
观测系统和转移系统：
[egin{aligned}
z_{t_i} &= A + H y_{t_i} +
u_{t_i}\
y_{t_i} &= C + F y_{t_{i-1}} + varepsilon_{t_i}
end{aligned}
]
Vasicek 模型和 CIR 模型的观测系统表达式：
[egin{bmatrix}
z(t_i,t_{z_1}) \
vdots\
z(t_i,t_{z_n})
end{bmatrix}=
egin{bmatrix}
frac{-A(t_i,t_{z_1})}{t_{z_1} - t_i} \
vdots\
frac{-A(t_i,t_{z_n})}{t_{z_n} - t_i}
end{bmatrix}+
egin{bmatrix}
frac{B_1(t_i,t_{z_1})}{t_{z_1} - t_i}&frac{B_2(t_i,t_{z_1})}{t_{z_1} - t_i}&frac{B_3(t_i,t_{z_1})}{t_{z_1} - t_i}\
vdots&vdots&vdots\
frac{B_1(t_i,t_{z_n})}{t_{z_n} - t_i}&frac{B_2(t_i,t_{z_n})}{t_{z_n} - t_i}&frac{B_3(t_i,t_{z_n})}{t_{z_n} - t_i}
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
y_1(t_i) \
y_2(t_i) \
y_3(t_i)
end{bmatrix}+
egin{bmatrix}
u_1(t_i) \
vdots\
u_n(t_i)
end{bmatrix}
]
(
u sim N(0,R)) 是相互独立的观测误差。
Vasicek 模型的转移系统：
[y_j(t_i) = heta_j(1-e^{-kappa_j Delta t}) + e^{-kappa_j Delta t} y_j(t_{i-1}) + varepsilon_j(t_i),j=1,2,3
]
[varepsilon_j(t_i) sim N(0, sqrt{frac{sigma_j^2}{2kappa_j}left(1-e^{-2kappa_j Delta t}
ight)})
]
CIR 模型的转移系统：
[y_j(t_i) = heta_j(1-e^{-kappa_j Delta t}) + e^{-kappa_j Delta t} y_j(t_{i-1}) + varepsilon_j(t_i),j=1,2,3
]
[varepsilon_j(t_i) sim N(0, sqrt{
frac{ heta_jsigma_j^2}{2kappa_j}left(1-e^{-2kappa_j Delta t}
ight)^2 + frac{sigma_j^2}{kappa_j}(e^{-kappa_j Delta t}-e^{-2kappa_j Delta t})y_i(t_{i-1})})
]
CIR 的真实转移概率分布是一个非中心 (chi^2) 分布，但 Ball and Torous (1996) 指出在足够小的时间区间上可以用正态分布近似。
3.3 实现细节
(mathcal{F}_s) 是观测系统的 (sigma) 代数
[mathcal{F}_{t_i} = sigma {z_{t_0}, z_{t_1},dots,z_{t_i}}
]
观测时长是 ([0,T])，(t_i = i frac{T}{N})
五步计算过程：
Step 1：初始化状态向量
[E[y_1] = E[y_1|mathcal{F}_0] = heta
]
对于 Vasicek 模型：
[var[y_1] = var[y_1|mathcal{F}_0] = diag(frac{sigma^2}{2 kappa})
]
对于 CIR 模型：
[var[y_1] = var[y_1|mathcal{F}_0] = diag(frac{sigma^2 heta}{2 kappa})
]
Step 2：预测观测值
[egin{aligned}
E[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] &= A + H cdot E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}]\
var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] &= H cdot var[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] cdot H^T + R
end{aligned}
]
Step 3：更新状态向量的推断
[zeta_{t_i} = z_{t_i} - E[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}]
]
在卡尔曼滤波中，此预测误差用于更新对转移系统的推断。
[egin{aligned}
E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}] &= E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] + K_{t_i}zeta_{t_i}\
K_{t_i} &= var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] cdot H^T cdot var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}]^{-1}
end{aligned}
]
(K_{t_i}) 称为卡尔曼获得矩阵。获得矩阵决定了更新预测时新观测数据的权重。条件方差也要更新。
[var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}] = (I - K_{t_i}H)var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}]
]
在 CIR 模型中 (E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}]) 可能小于零，可以考虑替换成 (max (E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}], 0))，(Chen and Scott, 2003)。
Step 4：预测状态向量
根据更新的变量，预测下一步的状态值
[egin{aligned}
E[y_{t_{i+1}}|mathcal{F}_{t_{i}}] &= C + F cdot E[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}]\
var[y_{t_{i+1}}|mathcal{F}_{t_{i}}] &= var[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}] - F cdot var[y_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i}}] cdot F^T + Q
end{aligned}
]
Step 5：构造似然函数
以上每一步都可以得到观测系统的预测误差（(zeta_{t_{i}})）和预测误差协方差矩阵（(var[y_{t_i} | mathcal{F}_{t_{i−1}}])），对数似然函数是
[l( heta) = -frac{nNln(2pi)}{2} - frac12 sum_{i=1}^Nleft[
lnleft(
det(var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}])
ight) + zeta^T_{t_i}var[z_{t_i}|mathcal{F}_{t_{i-1}}]^{-1}zeta_{t_i}
ight]
]
3.4 模拟计算
- 模拟期限结构路径，状态变量还可以用 SDE 的离散化模拟。
- 以任意参数开始，用 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法找到最大化对数似然函数的参数。
- 反复运行 250 次。
3.5 应用于真实数据
参数估计的误差通过 Fisher 信息矩阵获得。如果有 (k) 个参数，误差向量是 (psi)，那么
[psi_i = sqrt{H^{-1}_{ii}}
]
(H) 是 Hessian 矩阵。
其他相关文献
Ball, C. A., and W. N. Torous (1996): "Unit Roots and the Estimation of Interest Rate Dynamics," Journal of Empirical Finance, 3, 215–238.
Chen, R., Scott, L. Multi-Factor Cox-Ingersoll-Ross Models of the Term Structure: Estimates and Tests from a Kalman Filter Model. The Journal of Real Estate Finance and Economics 27, 143–172 (2003).
延伸阅读
《仿射期限结构模型：理论与实现——实现部分》