MACD 的数学解释
MACD 的一般定义
[egin{align*}
DIF &= EMA(P, w_{fast}) - EMA(P,w_{slow}) \
DEM &= EMA(DIF, w_{signal}) \
BAR &= 2 imes (DIF - DEM)
end{align*}
]
引入延迟算子
将 (w) 定义为 (EMA) 的衰减系数，即
[EMA_t = (1-w) cdot P_t + w cdot EMA_{t-1}
]
将 (L) 定义为“延迟算子”，公式重写成：
[EMA_t = frac{1-w}{1-wL} P_t
]
进而推导出：
[egin{align*}
DIF_t &= left( frac{1-w_{fast}}{1-w_{fast}L} - frac{1-w_{slow}}{1-w_{slow}L}
ight) P_t \
DEM_t &= frac{1-w_{signal}}{1-w_{signal}L} P_t \
BAR_t &= 2cdot DIF_t frac{w_{signal}(1-L)}{1-w_{signal}L} \
&= 2 cdot frac{w_{signal}(1-L)}{1-w_{signal}L} cdot frac{(w_{slow} - w_{fast})(1-L)}{(1-w_{slow}L)(1-w_{fast}L)} P_t
end{align*}
]
下面解析 (BAR_t) 的计算中，历史数据的权重。
Taylor 展开
采用最通常的参数配置 (MACD(12,26,9))，即
[egin{align*}
w_{fast} &= (12-1) / (12+1) = 11/13 \
w_{slow} &= (26-1) / (26+1) = 25/27 \
w_{signal} &= (9-1) / (9+1) = 8/10 = 4/5
end{align*}
]
要得到历史数据在公式中的权重，必须对分数形式算子做 Taylor 展开，得到多项式级数的表达形式。将上述参数代入到公式中：
[BAR_t =2 cdot frac{4/5(1-L)}{1-4/5L} cdot frac{(25/27 - 11/13)(1-L)}{(1-25/27L)(1-11/13L)} P_t
]
在网站 WolframAlpha 上找到 Taylor 展开，输入上述公式
taylor series 2*(4/5*(1-x))/(1-4/5*x) * ((25/27 - 11/13)*(1-x))/((1-25/27*x)*(1-11/13*x))
得到 Taylor 展开的解析形式：
[f(L) = sum_{n=0}^{infty}
frac{32left(819(frac{4}{5})^n - 765(frac{11}{13})^n + 65(frac{25}{27})^n
ight)}{29835} L^n
]
所以，历史数据 (P_{t-n}) 的权重是：
[frac{32left(819(frac{4}{5})^n - 765(frac{11}{13})^n + 65(frac{25}{27})^n
ight)}{29835}
]
权重分析
画出前 50 个历史数据的权重
整体来看，权重的分布为三段：
- 近期的数据赋予正的权重，但迅速衰减
- 中期的数据赋予负的权重，绝对值先增后减
- 远期的数据权重几乎为 0
(MACD) 中的 (BAR) 基本上可以看作是近期数据与中期数据的差。
共振？
如图，采用最通常的参数配置 (MACD(12,26,9))，最大权重出现在 (n=0) 时，最小权重出现在 (n=8) 时。如果价格序列体现出“波浪”的形态，一个波谷到邻近波峰之间索引的差值等于 (8-0)，按照上述权重的分布，基本上可以断定这时的 (BAR) 同时达到了最大值，因为我们为波分和波谷分别赋予了最大和最小的权重。也就是说，价格序列波浪的长度大致等于最大最小权重对应索引的差时，价格序列和 (BAR) 将出现“共振”。