取模 分数取模 快速幂 费马小定理

INTRO

• 有的题会让你对结果取模，有时候这个结果会是负数，有时候它会是分数，有时候 (a/b)mod p, b可能太大，会爆精度，所以要换为乘法。

负数取模

• 因为有的编译器 % 是取模，有的是取余， 所以最好自己处理一下
• 负数取模ex: -3 取模 4 == 1， -3 取余 4 == -3
• 为了让编译器一定能取模， 则 (a % MOD) 写为 ((a+MOD)%MOD)

分数取模 费马小定理 快速幂

什么是逆元

• x是y的逆元, 则有 (x*y equiv 1 mod P)

什么是费马小定理

• 前提：p是一个质数，a不是p的倍数
• (a^{p-1} equiv 1 mod p)

什么是快速幂

• 快速幂用来快速的求((a^b)%m)
• 原理: 求(a^b)， b可以写成二进制，然后将b分为多个(2^k)相加，则(a^b)可以分为多个(a^{2^k})部份相乘。
• 例如：求(5^13), 13可以写成(1101), 因此(13=2^0+2^2+2^3), 则(a^13=a^{2^0+2^2+2^3} = a^{2^0}*a^{2^2}*a^{2^3}), 其中 (a^{2^{k+1}} = a^{2^k+2^k} = a^{2^k}*a^{2^k})
• 代码

typedef long long ll;
ll binPow(ll a,ll b, ll m){
      ll ans = 1;
      while(b){
            if(b&1) ans = (ans*a)%m; //如果最低为是1
            a = (a*a) % m;
            b>>=1;
      }
      return ans;
}

怎么用快速幂、逆元求分数取模

• 要求((a/b) mod p)，把除换成乘，由于b有逆元c，即((b*c)mod p equiv 1 mod p)
• 则有 ((a/b) mod p equiv ((a/b)*b*c)mod p equiv (a*c)mod p)
• 那c是多少呢？ 根据费马小定理，你可以知道 (a^{p-1} mod p equiv a*a^{p-2} mod p)
• 因此b的逆元(cequiv b^{p-2})，其实就是(b^{-1} mod pequiv b^{p-1} mod p)
• 那怎么求c呢? 很多时候p都很大 例如1e9+7这样的，那我们就用快速幂求出b的逆元然后带回去就可以求到啦。