动态规划之----最长递增子序列

一，问题描述

给定一个序列，求解它的最长 递增 子序列 的长度。比如： arr[] = {3,1,4,1,5,9,2,6,5}   的最长递增子序列长度为4。即为：1,4,5,9

二，算法分析

有两种方式来求解，一种是转化为LCS问题。即，首先对数组排序，将排序后的结果存储在辅助数组中。排序时间复杂度O(NlogN)，排序后的数组与原数组组成了LCS（N,N）问题。解决LCS问题的时间复杂度为O(N^2)，故整个算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)

另一种方式是直接用DP求解，算法如下：时间复杂度为O(N^2)

①最优子问题

设lis[i] 表示索引为 [0...i] 上的数组上的 最长递增子序列。初始时，lis[i]=1，注意，在DP中，初始值是很重要的，它是整个算法运行正确的关键。而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。

当 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max{lis[j]}+1 ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

当 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max{lis[j]} ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

②重叠子结构

从上面可以看出，计算 lis[i]时，需要计算 lis[j]，其中 j < i，这说明有重叠子问题。借用网路中一张图如下：

                     lis(4)           
                 /       |      
         lis(3)      lis(2)    lis(1)  
        /             /         
  lis(2)  lis(1)   lis(1) 
  /    
lis(1)

而初始值 则可以 通过 画一个小的示例来 确定。

参考资料：

求解两个字符串的最长公共子序列

动态规划(3)-最长递增子序列

三，代码实现

错误版本1：

    private static int lis(int[] arr, int length){
        int lis[] = new int[length];
        
        //init
        for(int i = 0; i < length; i++)
            lis[i] = 1;
        
        for(int i = 1; i < length; i++)
        {
            for(int j = 0; j < i; j++)
            {
                
                if(arr[i] > arr[j])
                {
                    if(lis[j] + 1 > lis[i])
                        lis[i] = lis[j] + 1;
                }
                else{
                    if(lis[j] > lis[i])
                        lis[i] = lis[j];
                }
            }
        }
        return lis[length - 1];
    }

第13行if语句会导致bug，arr[i]要大于 j belongs to  0,1,...i-1 中所有的 arr[j]中的最大值，并且 lis[i] 是该最大值 arr[j] 所对应的 lis[j] +1，而不是某个其他的arr[j] 对应的 lis[j]+1

正确完整版本：

public class LIS {
    public static int lis(int[] arr){
        if(arr == null || arr.length == 0)
            return 0;
        return lis(arr, arr.length);
    }
    
    private static int lis(int[] arr, int length){
        int lis[] = new int[length];
        
        //init
        for(int i = 0; i < length; i++)
            lis[i] = 1;
        
        for(int i = 1; i < length; i++)
        {
            for(int j = 0; j < i; j++)
            {
//                lis[i]=max{lis[i-1], lis[i-1]+1}
                if(arr[i] > arr[j] && lis[j] + 1 > lis[i])
                    lis[i] = lis[j] + 1;
            }
        }
        
        int max = lis[0];
        for(int i = 1; i < length; i++)
            if(max < lis[i])
                max = lis[i];
        return max;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3,1,4,1,5,9,2,6,5};
        int result = lis(arr);
        System.out.println(result);
    }
}