动态规划

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一 动态规划

动态规划问题是面试题中的热门话题，如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。

使用动态规划特征：
1. 求一个问题的最优解
2. 大问题可以分解为子问题，子问题还有重叠的更小的子问题
3. 整体问题最优解取决于子问题的最优解（状态转移方程）
4. 从上往下分析问题，从下往上解决问题
5. 讨论底层的边界问题

实例1
剪绳子问题
给你一根长度为N的绳子，请把绳子剪成M段（m,n都是整数），每段绳子的
长度记为k[0],k[1],k[2]…. 请问如何剪绳子使得k[0],k[1],k[2]
的乘积最大
例如 绳子长度8 最大乘积18 = 2*3*3

def jianshengzi(n):
    # 先对边界问题进行求解，因为明显剪的值小于不剪的值
    # 则提出先讨论这三种情况
    if n < 2:
        return 0
    if n == 2:
        return 1    #长度为2，只能剪成1*1
    if n == 3:
        return 2    #长度为3，剪成2*1 > 1*1*1

    #若绳子长于４呢,申请一个长度为50的数组
    #罗列出切割的边界问题

    h = [0]*50
    h[0] = 0
    h[1] = 1
    h[2] = 2
    h[3] = 3
    # 递归问题是 f(n) = max{f(i)*f(n-i)}
    for i in range(4,n+1):
        maxs = 0
        for j in range(1,i/2+1):
            mult = h[j] * h[i-j]
            if maxs < mult:
                maxs = mult
            h[i] = maxs     # 每次J的迭代轮询出该长度的最大值
    print h
    return h[n]

print jianshengzi(8)

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实例2
硬币问题
我们有面值为1元3元5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？
分析：
1 求问题的最优解：最小的硬币数
2 是否有子问题：f(n)表示的最少硬币数是是上一次拿时候的硬币数最少。
注意：f(n)是n元的最小硬币数，最后一次可拿的硬币数为1,3,5 则下一步
的最小硬币数为 f(n-vi) 它的状态变更不是按元数的，是按照上次拿的硬币钱目
3 状态转移方程为 f(n)= min(f(n-vi)+1)
4 边界问题(找到最后一个重复的问题) 这里
f(1)=1 ,f(2)=f(1)+f(1)=2 f(3)=min(1,f(2)+1)
f(4)=f(3)+1 f(5)=1
5 从上往下分析问题，从下往上解决问题。

def f(n):
    if n == 1:      #把所有的边界问题找到
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 1
    if n == 4:
        return 3
    if n == 5:
        return 1

    h = [1,3,5]
    minx = n
    for i in range(3):
        coun = f(n-h[i])+1    # 采用了递归的思想 这里是从上到下，
        if minx > coun:       # 复杂度比较高
            minx = coun
    return minx

print f(11)

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def f(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 1
    if n == 4:
        return 3
    if n == 5:
        return 1

    h = [1,3,5]
    for x in range(6,n+1):     #从下往上的思维解决
        minx = n
        for i in range(3):      
            coun = f(x-h[i])+1   #从下往上的思维解决 
            if minx > coun:
                minx = coun
    return minx
print f(11)

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