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  • HihoCoder 1325 平衡树·Treap

    HihoCoder 1325 平衡树·Treap

    时间限制:10000ms
    单点时限:1000ms
    内存限制:256MB

    描述

    小Ho:小Hi,我发现我们以前讲过的两个数据结构特别相似。

    小Hi:你说的是哪两个啊?

    小Ho:就是二叉排序树和堆啊,你看这两种数据结构都是构造了一个二叉树,一个节点有一个父亲和两个儿子。 如果用1..n的数组来存储的话,对于二叉树上的一个编号为k的节点,其父亲节点刚好是k/2。并且它的两个儿子节点分别为k*2和k*2+1,计算起来非常方便呢。

    小Hi:没错,但是小Hi你知道有一种办法可以把堆和二叉搜索树合并起来,成为一个新的数据结构么?

    小Ho:这我倒没想过。不过二叉搜索树满足左子树<根节点<右子树,而堆是满足根节点小于等于(或大于等于)左右儿子。这两种性质是冲突的啊?

    小Hi:恩,你说的没错,这两种性质的确是冲突的。

    小Ho:那你说的合并是怎么做到的?

    小Hi:当然有办法了,其实它是这样的....

    提示:Tree+Heap?

    输入

    第1行:1个正整数n,表示操作数量,10≤n≤100,000

    第2..n+1行:每行1个字母c和1个整数k:

    若c为'I',表示插入一个数字k到树中,-1,000,000,000≤k≤1,000,000,000

    若c为'Q',表示询问树中不超过k的最大数字

    输出

    若干行:每行1个整数,表示针对询问的回答,保证一定有合法的解

    样例输入
    5
    I 3
    I 2
    Q 3
    I 5
    Q 4
    样例输出
    3
    3
    分析:无论从哪方面来看都是平衡树Treap的裸题,但是张昆玮的PPT《统计的力量》告诉我们,不强制在线的名次树可以用线段树配合离散化解决(这个PPT对线段树初学者很有帮助,不仅在于zkw线段树常数小,更重要的是zkw分析了线段树与其他主流数据结构的关系与应用)。核心思想是对计数数组维护前缀和,求rank就是前缀和,求第k小就是与名次树类似的自顶向下搜索(k<=左子树结点数就向左,否则向右),更新是单点更新。是不是看起来比Treap都容易?以后写名次树完全用不着码平衡树了。
    这种写法主要弊端是必须离线(类似主席树),如果题目强制在线就没有招了(不过没有人会想到用强制在线卡一道平衡树裸题吧?)。写的时候注意不要与平衡树混淆(还是很容易混淆的),比如维护sum要与平衡树中维护size的情况分开。
    这份程序中没有使用zkw的非递归自底向上式的线段树写法,有时间我会补上
    代码(递归式)
    UPD:懒得补了,因为想要使用非递归式写法,要求这棵树是满二叉树,很烦我就不写了(P.S.递归式线段树比Treap大概快了100ms,还算满意,毕竟编程复杂度小了不少)。
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/xuzihanllaa/p/8018903.html
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