Kurskal算法生成最小生成树MST

1.解析

while循环其实不是只循环V-1次，因为如果找出的边能够形成环的话，这条边并不是我们需要的边，所以本次循环无效。while循环中其实包含了找出最小的功能，这个其实可以通过单独的一个函数来实现。就是按边长度升序来排列。

kruskal算法其实是一个找边的算法，对于一V个顶点的图，必定由V-1条边构成一个最小生成树，那么按边的权值遍历图每一条边。判断如果添加这条选出的当前权最小的边，图中会不会生成一个环，如果生成环，则当前找到的这条边无效，继续找下一条权值最小边。

每找出一条边，相当于图中合并了两个连通部件（初始化是一个顶点算一个连通部件），因此找到V-1条边就相当于是将原来分离的V个连通部件合并成一个更大的连通部件。

在两个连通部件之间添加一条边，会组成一个更大的连通部件，并且不存在环。

2.算法实例

#include<iostream> #include<malloc.h> #include<queue> #include <algorithm> #include<stdlib.h> #include<functional> using namespace std; #define maxNum 100 //定义邻接举证的最大定点数 #define maxWeight 1000000 //边权最大值 int visited[maxNum][maxNum];//用来表示边visited[i][j]是否被访问过，初始化都是0 int set[maxNum]; //顶点信息 typedef struct { int id; int dist; }node; //图的邻接矩阵表示结构 typedef struct { //char v[maxNum];//图的顶点信息 node v[maxNum]; int e[maxNum][maxNum];//图的顶点信息 int vNum;//顶点个数 int eNum;//边的个数 }graph; //函数声明 void createGraph(graph *g);//创建图g void kruskal(graph *g); void createGraph(graph *g)//创建图g { cout<<"正在创建无向图..."<<endl; cout<<"请输入顶点个数vNum:"; cin>>g->vNum; //cout<<"请输入边的个数eNum:"; // cin>>g->eNum; int i,j; //构造邻接矩阵，顶点到自身的距离是无穷大的。 cout<<"输入邻接矩阵权值："<<endl; for(i=1;i<=g->vNum;i++) for(j=1;j<=g->vNum;j++) { cin>>g->e[i][j]; if(g->e[i][j]==0) { g->e[i][j]=maxWeight; } } } void kruskal(graph *g) { cout<<"最小生成树是："<<endl; int k=1; int i,j; int a=1,b=1; int min=g->e[a][b]; //初始化visited[][] for(i=1;i<=g->vNum;i++) for(j=1;j<=g->vNum;j++) { visited[i][j]=0;//表示边i-j没有被访问过 } //初始化set[] for(i=1;i<=g->vNum;i++) { set[i]=i; } while(k<=g->vNum-1)//V-1次合并连通部件操作：union。v-1=e，就是查找出所有满足最小生成树的边 { //找出最小边i->j for(i=1;i<=g->vNum;i++) for(j=1;j<=g->vNum;j++) { if(g->e[i][j]<min&&visited[i][j]==0) { min=g->e[i][j]; a=i; b=j; } } visited[a][b]=1; visited[b][a]=1; min=maxWeight; if(set[a]!=set[b])//a b不在一个连通分量中，则合并 { k++;//表中找到了一条合适的边 cout<<a<<"->"<<b<<endl; //合并集合。将连同部件b合并到连同部件a中去。 int temp_set=set[b]; for(i=1;i<=g->vNum;i++) { if(set[i]==temp_set) set[i]=set[a];//将b合并到a中去。 cout<<set[i]<<" "; } cout<<endl; } } } int main() { graph *g; g=(graph*)malloc(sizeof(graph)); createGraph(g); kruskal(g); int i; for(i=1;i<=g->vNum;i++) cout<<set[i]<<" "; cout<<endl; system("pause"); return 0; } /* 正在创建无向图... 请输入顶点个数vNum: 6 输入邻接矩阵权值： 0 5 6 4 0 0 5 0 1 2 0 0 6 1 0 2 5 3 4 2 2 0 0 4 0 0 5 0 0 4 0 0 3 4 4 0 最小生成树是： 2->3 1 2 2 4 5 6 2->4 1 2 2 2 5 6 3->6 1 2 2 2 5 2 1->4 1 1 1 1 5 1 5->6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 请按任意键继续. . . */

3.单独提取合并集合的方法

为了是程序更加清晰，将合并集合的方法单独提取出来。代码实例如下：

void union_set(graph *g,int a,int b) { int i; //合并集合。将连同部件b合并到连同部件a中去。 int temp_set=set[b]; for(i=1;i<=g->vNum;i++) { if(set[i]==temp_set) set[i]=set[a];//将b合并到a中去。 cout<<set[i]<<" "; } cout<<endl; }

修改以后原来的程序只稍作修改即可，在void kruskal(graph *g)中作如下修改：

if(set[a]!=set[b])//a b不在一个连通分量中，则合并 { k++;//表中找到了一条合适的边 cout<<a<<"->"<<b<<endl; union_set(g,a,b);//合并集合。 }