堆排序

堆的定义、堆的存储和堆排序

堆的定义、堆的存储、堆排序

堆排序是一种树形选择排序方法，它的特点是，在排序过程中，将L[1..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系，在当前无序区中选择关键字最大（或最小）的元素。

堆的定义如下：

n个关键字序列L[1..n]称为堆，当且仅当该序列满足：① L(i)≤L(2i) 且 L(i)≤L(2i+1) 或 ② L(i)≥L(2i) 且 L(i)≥L(2i+1)，其中1≤i≤⌊n/2⌋。

满足情况①的堆称为小根堆，满足情况②的堆称为大根堆。堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

堆排序 Heap Sort这篇文章关于堆介绍的比较好，堆排序主要涉及两个问题：

• 如何由一个无序序列构造初始堆？

由于叶节点已经满足了堆的性质，所以只需从最后一个非叶子节点向下调整，然后从倒数第二个非叶子节点向下调整，...，最后从堆顶向下调整。这一过程可以参考白话经典算法系列之七 堆与堆排序堆化数组这一部分

• 如何在输出堆顶元素后，调整剩余元素成为一个新堆？

输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，然后从堆顶向下调整

堆排序的实现

我的实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

/* 向下调整，即筛选 */
void adjustDown(int a[], int start, int n)
{
	// 根结点编号为1，对第start个元素进行调整
	a[0]=a[start]; // a[0]暂存
	for (int i=2*start;i<=n;i*=2) // 沿较大的子结点向下筛选
	{
		if (i<n&&a[i]<a[i+1])
		{
			i++; // 取较大的子结点的下标
		}
		if (a[0]>=a[i])
		{
			break; // 筛选结束
		}
		else
		{
			a[start]=a[i]; // 将a[i]调整到双亲结点上
			start=i; // 修改start，以便继续向下筛选
		}
	}
	a[start]=a[0]; // 被筛选结点的值放入最终位置
}

/* 堆排序 */
void heapSort(int a[], int n)
{
	for (int i=n/2;i>0;i--) // ① 初始建堆，从i=n/2 --> 1，反复向下调整
	{
		adjustDown(a,i,n);
	}

	for (int j=n;j>1;j--) // ② n-1趟的交换和建堆过程
	{
		swap(a[j],a[1]); // 输出堆顶元素（和堆底元素交换）
		adjustDown(a,1,j-1); // 把剩余的j-1个元素整理成堆
	}
}

int main()
{
	int a[]={0,16,20,3,11,17,8};
	heapSort(a,6);
	for (int i=1;i<=6;i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
	return 0;
}

堆排序和堆排序 Heap Sort中的实现都挺好的，前者中HeapAdjust用递归实现，后者HeapAdjust采用非递归实现。下面把他们分别贴出

/*堆排序(大顶堆) 2011.9.14*/ 

#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

void HeapAdjust(int *a,int i,int size)  //调整堆 
{
    int lchild=2*i;       //i的左孩子节点序号 
    int rchild=2*i+1;     //i的右孩子节点序号 
    int max=i;            //临时变量 
    if(i<=size/2)          //如果i是叶节点就不用进行调整 
    {
        if(lchild<=size&&a[lchild]>a[max])
        {
            max=lchild;
        }    
        if(rchild<=size&&a[rchild]>a[max])
        {
            max=rchild;
        }
        if(max!=i)
        {
            swap(a[i],a[max]);
            HeapAdjust(a,max,size);    //避免调整之后以max为父节点的子树不是堆 
        }
    }        
}

void BuildHeap(int *a,int size)    //建立堆 
{
    int i;
    for(i=size/2;i>=1;i--)    //非叶节点最大序号值为size/2 
    {
        HeapAdjust(a,i,size);    
    }    
} 

void HeapSort(int *a,int size)    //堆排序 
{
    int i;
    BuildHeap(a,size);
    for(i=size;i>=1;i--)
    {
        //cout<<a[1]<<" ";
        swap(a[1],a[i]);           //交换堆顶和最后一个元素，即每次将剩余元素中的最大者放到最后面 
          //BuildHeap(a,i-1);        //将余下元素重新建立为大顶堆 
          HeapAdjust(a,1,i-1);      //重新调整堆顶节点成为大顶堆
    }
} 

int main(int argc, char *argv[])
{
     //int a[]={0,16,20,3,11,17,8};
    int a[100];
    int size;
    while(scanf("%d",&size)==1&&size>0)
    {
        int i;
        for(i=1;i<=size;i++)
            cin>>a[i];
        HeapSort(a,size);
        for(i=1;i<=size;i++)
            cout<<a[i]<<"";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

第二个实现：

//堆筛选函数
//已知H[start~end]中除了start之外均满足堆的定义
//本函数进行调整，使H[start~end]成为一个大顶堆
typedef int ElemType;
void HeapAdjust(ElemType H[], int start, int end)
{

    ElemType temp = H[start];

    for(int i = 2*start + 1; i<=end; i*=2)
    {
        //因为假设根结点的序号为0而不是1，所以i结点左孩子和右孩子分别为2i+1和2i+2
        if(i<end && H[i]<H[i+1])//左右孩子的比较
        {
            ++i;//i为较大的记录的下标
        }

        if(temp > H[i])//左右孩子中获胜者与父亲的比较
        {
            break;
        }

        //将孩子结点上位，则以孩子结点的位置进行下一轮的筛选
        H[start]= H[i];
        start = i;
        
    }

    H[start]= temp; //插入最开始不和谐的元素
}

void HeapSort(ElemType A[], int n)
{
    //先建立大顶堆
    for(int i=n/2; i>=0; --i)
    {
        HeapAdjust(A,i,n);
    }
    //进行排序
    for(int i=n-1; i>0; --i)
    {
        //最后一个元素和第一元素进行交换
        ElemType temp=A[i];
        A[i] = A[0];
        A[0] = temp;

        //然后将剩下的无序元素继续调整为大顶堆
        HeapAdjust(A,0,i-1);
    }

}

用STL中的容器来实现最大最小堆

用multiset/priority_Queue来实现最大最小堆

其中，关于比较算子参考：priority_queue，以及运算符重载 、STL-priority_queue用法（重点: 升序，小根堆）