六、解答下列各题
2. 设$V$是复数域上的有限维线性空间,$H$是$V$上两两可交换且可对角化的线性变换组成的线性空间.
证明:存在若干线性函数$alpha_{i}$:$H o mathbb{C}$使得有如下的空间直和分解:
$$V = oplus_{i=1}^{m}V_{i} ,其中,
V_{i} = {vin V mid h(v)= alpha_{i}(h)v,forall hin H}$$
2. 证明:先证明$H$中的任意一组基可以同时对角化,再找出线性函数.因
$V$是有限维线性空间,不妨设$dim V=n$,则$dim End(V)=n^{2}$,显然$H$
是$End(V)$的真子空间,于是$dim H<n^{2}$,不妨设$dim H=m$,取$H$的一组基
$$h_{1},h_{2},...,h_{m}$$
两两可换.来证存在$V$中的一组基是得$h_{1},h_{2},...,h_{m}$同时对角化.
对线性空间$V$的维数$n$作第二数学归纳法
$n=1$时$h_{1},h_{2},...,h_{m}$在$V=L(alpha)$下的矩阵都是一级的,结论显然成立.
假设对维数小于$n$的线性空间,结论都成立,来考察$n$维线性空间$V$.
因$h_{1}$可对角化,因此存在空间V的直和分解$$V=oplus_{i=1}^{s}V_{lambda _{i}}$$
其中$V_{lambda _{i}}$是$h_{1}$的属于特征值$V_{lambda _{i}}$的特征子空间,又因为$h_{j}$均与$h_{1}$可换,因此$V_{lambda _{i}}$
都是
$h_{j}$的不变子空间,那么$h_{j}mid V_{lambda _{i}}$ 是 $V_{lambda _{i}}$上的线性变换,并且$h_{j}mid V_{lambda _{i}}(i =1,2,...,s;j=1,2,...m)$ 仍然两两可换.用$m_{ji}(lambda)$来表示$h_{j}mid V_{lambda _{i}}$的最小多项式,用$m_{j}(lambda)$来表示
$h_{j}$的最小多项式.那么有$$ m_{j}(lambda)=[m_{j1}(lambda),m_{j2}(lambda),...,m_{jm}(lambda)],$$
因为$h_{j}$可对角化,因而$ m_{j}(lambda)$在$C[lambda]$可分解为一次互素因式的乘积,那么$m_{ji}(lambda)$同
样可以.这表明$h_{j}mid V_{lambda _{i}}$可对角化,而$dim V_{lambda _{i}}<n$,由归纳法之假设,存在$V_{lambda _{i}}$的
一组基$$alpha_{i1} , alpha_{i2},...alpha_{in_{1}},i=1,2,...,s$$
使得$h_{j}mid V_{lambda _{i}}$在其下矩阵都是对角阵.则
$$alpha_{11} , alpha_{12},...alpha_{1n_{1}},alpha_{21}, alpha_{22},...alpha_{2n_{2}},...,alpha_{s1}, alpha_{s2},...alpha_{sn_{s}}$$
组成$V$的一组基,使得$h_{j}$在其下矩阵为
$$A_{j}=
egin{pmatrix}
A_{j1}& & & \
&A_{j2}& & \
& &ddots & \
& & &A_{js}
end{pmatrix},
j=1,2,...,m.
$$
显然$A_{j}$都是对角阵.由归纳法原理知道,结论成立.
下面开始找符合条件的线性函数.
从上文知道
$$V=oplus_{i=1}^{s}V_{lambda _{i}}$$
并且存在一组基
$$alpha_{11} , alpha_{12},...alpha_{1n_{1}},alpha_{21}, alpha_{22},...alpha_{2n_{2}},...,alpha_{s1}, alpha_{s2},...alpha_{sn_{s}},$$
使得
$$h_{1},h_{2},...,h_{m}$$
同时对角化,为方便起见,不妨记这组基为
$$eta_{1},eta_{2},...,eta_{n},$$
当然可以对上述的直和分解进一步细化,令
$$V_{i}=L(eta_{i}),i=1,2,...,n.$$
于是得到一维的空间直和分解$$V=oplus V_{i=1}^{n}$$
$h_{j}$在这组基下可以同时对角化,令
$$
h_{j}(eta_{i})=lambda_{ji},i=1,2,...,n;j=1,2,...,m
$$
$forall upsilon in V_{i},upsilon=leta_{i},forall hin H,
h=sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}$,$$h(upsilon)=sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}(upsilon)=lsum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j}(eta_{i})
=lsum_{j=1}^{m}y_{j}lambda_{ji}(eta_{i})
$$
由此可见,只需令$alpha_{i}(h_{j}=lambda_{ji}) $,(因为一个线性函数只与它在一组基上的函数
值有关,定义了它在一组基上的值,也就定义出了一个线性函数)那么
$$
alpha_{i}(h)(upsilon)=alpha_{i}(sum_{j=1}^{m}y_{j}h_{j})(upsilon)=lsum_{j=1}^{m}alpha_{i}(h_{j})(eta_{i})=lsum_{j=1}^{m}y_{j}lambda_{ji}(eta_{i})
$$
至此,$V_{i},alpha_{i},i=1,2,...,n$已全部找出,证毕.
注：证明分为两部分，第一部分更详细的证明可参看《高等代数学习指导书》下册，丘维声编著，清华大学出版社，P443，例13.