一、(每小题7分,共21分) 计算下列极限
1.$displaystyle limlimits_{n o infty } nleft( left(1+frac{1}{n}
ight)^{n}-e
ight)$
2.$displaystyle limlimits_{x o frac{pi}{2}}(sec x- an x)$
3.$displaystyle limlimits_{n o infty}frac{sqrt[n]{n!}}{n}$
二、(每小题10分,共60分) 计算下列积分.
1.设$displaystyle f(x)= egin{cases}
1-x^{2},x<0\
1+x,xge0
end{cases}$,求$displaystyle int_{-2}^{1}fleft(f(x)
ight)dx$.
2.$displaystyle iintlimits_{D}sqrt{x}+sqrt{y}dxdy$,其中$D$是由抛物线$sqrt{x}+sqrt{y}=1,x=0$及$y=0$所围区域.
3.$displaystyle iiintlimits_{Omega}left(x^{2}+y^{2}
ight)dxdydz$,其中$Omega$是锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2}$与上半球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3a^{2}$所围区域.
4.$displaystyle iintlimits_{S}(xy+yz+zx)dS$,其中$S$是锥面$z=sqrt{x^{2}+y^{2}}$被柱面$x^{2}+y^{2}=2ax$所截部分.
5.$displaystyle int_{L}(2xy^{3}-y^{2}cos x)dx+(1-2ysin x+3x^{2}y^{2})dy$,其中$L$是$2x=pi y^{2}$从原点$O(0,0)$到点$A(frac{pi}{2},1)$的一段曲线.
6.$displaystyle iintlimits_{S} xdydz+ydzdx+zdxdy$其中$S$为上半球面$z=sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$的下侧.
三、(本题15分) 设$f(x,y)$为$R^{2}$上的可微函数,且有
$$limlimits_{r o +infty}left(xf'_{x}+yf'_{y}
ight)=a>0,left(r=sqrt{x^{2}+y^{2}}
ight).$$
证明:$f(x,y)$在$R^{2}$上必有最小值.
四、(本题14分) 设$u=u(x,y)$具有二阶连续偏导数.证明存在常数使得在变换
$$s=x+ay,t=x+by$$下可将微分方程
$$displaystyle frac{partial^{2} u}{partial x^{2}}+4frac{partial^{2} u}{partial x partial y}+3 frac{partial^{2} u}{partial y^{2}}=0$$化为$$displaystyle frac{partial ^{2} u}{partial s partial t}=0$$.
五、(本题20分) 设$f(x)$在$[0,1]$上可导且$f(0)=0,left|f'(x)
ight| le frac{1}{2}left|f(x)
ight|$.
证明:在$[0,1]$上,$f(x)equiv 0$.
六、(本题20分) 设$f(x)$在$R$上具有二阶连续导数且$f(0)=f(1)=0$.对任意的$xin
(0,1),f(x)>0$.证明:$$displaystyle int_{0}^{1} left| frac{f''(x)}{f(x)}
ight|dx>4$$.