一、极限 (每小题7分,共28分)
1.$displaystyle limlimits_{x o +infty } e^{-x}left(1+frac{1}{x}
ight)^{x^{2}}$
2.$displaystyle limlimits_{n o infty} ne^{frac{1}{n}}-n^{2}ln (1+frac{1}{n})$
3.$displaystyle limlimits_{n o infty}left(n!
ight)^{frac{1}{n^{2}}}$
4.$displaystyle limlimits_{x o 0}frac{cos x -e^{-frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+ln(1-x)]}$
二、计算或证明下列各题(每小题10分,共60分) .
1.当$xle 0$时,$f(x)=1+x^{2}$;当$x>0$时,$f(x)=xe^{-x}$.求$displaystyle int_{1}^{3}f(x-2)dx$.
2.设$displaystyle f'(2^{x})=x2^{-x},f(1)=0$,求$f(x)$.
3.计算曲面积分$displaystyle I= iintlimits_{S}(x+y+z)dS$,其中曲面$S={(x,y,z)in R^{3}mid
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},zge 0}$
4.计算曲线积分$displaystyle I=intlimits_{AmB}left(varphi (y) e^{x}-my
ight)dx+left(varphi '(y)e^{x}-m
ight)dy$.其中$varphi (y)$、$varphi '(y)$为$R$上的连续函数,$AmB$为连接点$A(1,2),B(3,4)$的任意路径(方向从A到B),但它与直线$AB$围成的区域面积为定值$P(P>0)$.
5.计算曲面积分$displaystyle I=iintlimits_{S}left( x^{2} cos alpha +y^{2}cos eta +z^{2}cos gamma
ight)dS$,其中$S$为圆锥面$x^{2}+y^{2}=z^{2},0le z le h,cos alpha ,coseta ,cos gamma$为该曲面的外法向量$overrightarrow{n}$的方向余弦.
6.函数$z=z(x,y)$具有二阶连续偏导且满足方程
$$q(1+q)frac{partial ^{2} z}{partial x^{2}}-(1+p+q+2pq)frac{partial ^{2} z}{partial x partial y}+p(1+p)frac{partial ^{2} z}{partial y^{2}}=0$$
其中$displaystyle p=frac{partial z}{partial x},q=frac{partial z}{partial y}$.假设$u=x+y,v=y+z,w=x+y+z$之下,证明:
$$displaystyle frac{partial ^{2} w}{partial upartial v}=0$$
三、(本题10分) 设$f(x)$在$[0,1]$上具有连续导数,证明:
$$limlimits_{n o infty}nint_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)$$
四、(本题10分) 设$f(x)$在$(a,b)$内二阶可微,证明:存在$cin (a,b)$使得$$f(a)-2fleft(frac{a+b}{2}
ight)-f(b)=frac{(b-a)^{2}}{4}f''(c)$$
五、(本题10分) 设$f(x)$在$(a,b)$内具有连续导数且$f(a)=f(b)=0$,证明:$$maxlimits_{ale xle b}left|f'(x) ight| ge frac{4}{(b-a)^{2}}int_{a}^{b}left| f(x) ight| dx.$$
六、(本题12分) (题误)设$x>0,y>0,z>0$,证明:$$3left(x+y+z+frac{1}{x+y+z} ight)^{2}le left(x+frac{1}{x} ight)^{2}+left(y+frac{1}{y} ight)^{2}+left(z+frac{1}{z} ight)^{2}.$$
七(本题20分) 设$f(x)$在$-infty<x<+infty$上有定义,在$x=0$的某领域内具有二阶连续导数,且$displaystyle limlimits_{x o 0}frac{f(x)}{x}=ain R$.证明:
1.若$a>0$,则级数$ sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n}fleft(frac{1}{n} ight)$收敛,级数$ sumlimits_{n=1}^{infty}fleft(frac{1}{n} ight)$发散.
2.若$a=0$,则级数$ sumlimits_{n=1}^{infty}fleft(frac{1}{n}
ight)$绝对收敛.