一、计算下列极限 (每小题7分,共28分)
1.$displaystyle limlimits_{n o infty } sqrt{n+sqrt{n+2sqrt{n}}}-sqrt{n}$.
2.$displaystyle limlimits_{n o infty} sumlimits_{k=1}^{2n}frac{1}{n+k}$.
3.已知$displaystyle limlimits_{x o infty}left(1+frac{1}{x}
ight)^{ax}=limlimits_{x o 0} arccosfrac{sqrt{x+1}-1}{sin x}$,求$a$.
4.$displaystyle limlimits_{x o 0}left(e^{x}+x^{2}+3sin x
ight)^{frac{1}{2x}}$.
二、计算积分(每小题8分,共48分)
1.$displaystyle intcos left(ln x
ight)dx$;
2.求$displaystyle int_{0}^{+infty}frac{1}{1+x^{4}}dx$;
3.计算积分$displaystyle I=intlimits_{L}left| y ight|ds$,其中$L$是为球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$与平面$x=y$的交线.
4.计算积分$displaystyle I=iintlimits_{Sigma} left(x+y+z
ight)^{2}dS$,其中$Sigma$是球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$;
5.设$f(x)$在$(-infty,+infty)$内有连续导函数,计算积分$displaystyle intlimits_{L}frac{1+y^{2}f(xy)}{y}dx+frac{x}{y^{2}}[y^{2}f(xy)-1]dy$,其中$L$为上半平面$(yge0)$内以$ left(2,3 ight)$为起点到$ left(3,2 ight)$为终点的有向分段光滑曲线;
6.计算$displaystyle I=iintlimits_{Sigma}frac{xdydz+z^{2}dxdy}{sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$,其中$Sigma$为下半球面:$z=-sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$的上侧.
三、(本题10分) 设$z=f(x,y)$具有二阶连续偏导数,且$f_{y} ot=0$.证明:对任意实数$c,f(x,y)=c$为一条直线的充要条件是$$(f_{y})^{2}f_{xx}-2f_{x}f_{y}f_{xy}+(f_{x})^{2}f_{yy}=0$$
四、(本题12分) 函数$displaystyle xsinfrac{1}{x}$和$displaystyle sin frac{1}{x}$在$(0,+infty)$上是否一致连续?并给出证明.
五、(本题12分) 设偶函数$f(x)$的二阶导数在$x=0$的某邻域内连续且$f(0)=1,f''(0)=2$.证明:级数$ sumlimits_{n=1}^{infty}left[fleft(frac{1}{n} ight)-1 ight]$绝对收敛.
六、(本题10分) 函数$f:[0,1] o (0,1)$在$[0,1]$可导,且$f'(x) ot=1$,证明:方程$f(x)=x$在$(0,1)$内存在唯一的实根.
七、(本题15分) 设$f(x)$在$[0,1]$上可积,在$x=1$连续.证明:$$limlimits_{n o infty}nint_{0}^{1}x^{n}f(x)dx=f(1)$$
八、(本题15分) 设函数$f(x,y)$在区域$displaystyle D:x^{2}+y^{2}le 1$上有连续二阶偏导数,且$displaystyle frac{partial ^{2} f}{partial x^{2}}+frac{partial ^{2} f}{partial y^{2}}=e^{-(x^{2}+y^{2}})$.证明:$$iintlimits_{D}left(xfrac{partial f}{partial x}+yfrac{partial f}{partial y} ight)dxdy=frac{pi}{2e}$$