一、计算(每小题10分,共70分)
1.求极限 $displaystylelimlimits_{n o +infty}prod_{k=1}^{n}frac{4k-3}{4k}$.
2.计算$displaystyle displaystylelimlimits_{n o +infty}sqrt[n]{n!} ln{left( 1+frac{1}{n}
ight) }$ .
3.对任意$displaystyle A>0,f(x)$在$displaystyle [0,A]$上可积,且$displaystyle limlimits_{x o +infty}f(x)=1$,求$ displaystyle limlimits_{T o +infty } frac{1}{T}int_{0}^{T}f(x)dx$.
4. 设$displaystyle z=z(x,y)$由方程$displaystyle e^{-xy}-2z+e^{z}=0$确定,求$displaystyle frac{partial^{2}z}{partial xpartial y}$.
5.求椭球面$displaystyle frac{x^{2}}{3}+frac{y^{2}}{4}+frac{z^{2}}{9}=1(x>0,y>0,z>0) $的切平面与三坐标平面所围成的几何体的最小体积.
6.设$f(t)$连续,$displaystyle f(t)sim t^{2}(t o 0),F(t)=iint_{x^{2}+y^{2}le t}f(x^{2}+y^{2})dxdy (tge 0)$,求$displaystyle F''(0+)$.
7.计算$displaystyle oint_{L}left(y^{2}+z^{2}
ight)dx +left(z^{2}+x^{2}
ight)dy+left( x^{2}+y^{2}
ight)dz$,其中$displaystyle L$是曲面$displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4x$与$displaystyle x^{2}+y^{2}=2x$的交线$displaystyle zge 0$部分,曲线的方向规定从$z$轴正向看$L$为逆时针方向.
二、(10分)设$displaystyle f(x)$在$[a,b]$上连续,且对任意$displaystyle xin [a,b],f(x) ot =0$,用定义法证明$displaystyle frac{1}{f(x)}$在$displaystyle [a,b]$上一致连续.
三、(10分) $displaystyle f(x)$在$displaystyle [0,1]$上可导,$displaystyle f(1)=int_{0}^{1}f(x)e^{1-x^{2}} dx$,证明:存在$displaystyle ain (0,1)$使得$displaystyle f'(a)=2af(a)$.
四、(10分)令$displaystyle f(x)=frac{1}{x},a_{2n-1}=f(n),a_{2n}=int_{n}^{n+1}f(x)dx$,讨论$displaystyle sum_{k=1}^{n}left( -1 ight) ^{n}a_{n}$的敛散性(收敛、绝对收敛和条件收敛).
五、(10分) 证明:$displaystyle int_{0}^{+infty}frac{cos{x^2}}{1+x^{y}}dx$当:$displaystyle yin [0,+infty]$时一致收敛.
六、(10分) $displaystyle f(x)$在$displaystyle [0,1]$上连续,证明:$displaystyle iintlimits_{S}f(x^{2}+y^{2})dS=2pi int_{-1}^{1}f(1-t^{2})dt$,其中$displaystyle S$为球面$displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
七、(15分) 设$ displaystyle f(x) $和$displaystyle g(x)$在$displaystyle x_{0}$点附近恒正,判断下面命题$displaystyle (A)$及其逆命题是否正确,若成立,给出证明；若不成立,举例说明.
$displaystyle (A)$ : 当$displaystyle x o x_{0}$时,若$displaystyle f(x)$和$displaystyle g(x)$为等价无穷小量,则$displaystyle ln f(x)$和$displaystyle ln g(x)$为等价无穷大量.
八、(15分) 叙述Cauchy收敛定理,并用确界存在定理证明之.