一、计算(每小题8分,共72分)
1.求 $displaystylelimlimits_{x o 0}left(frac{cos{x}}{cos{2x}}
ight)^{x^{-2}} .$
2.设$displaystyle x_{0}=1,x_{1}=2,x_{n+1}=frac{x_{n}+x_{n-1}}{2},nge 1$,求$displaystyle { x_{n} } $ 的极限.
3.求$ displaystyle limlimits_{x o 0 atop y o 0} dfrac{cos{x}+cos{y}-2}{x^{2}+y^{2}}$.
4.设$f$为$mathbb{R}$上的周期为$T$的连续函数,且$displaystyleint_{0}^{T}f(t)dt=a$,求$displaystylelimlimits_{x o +infty}frac{1}{x}int_{0}^{x}f(t)dt.$
5.求级数$displaystylesumlimits_{n=1}^{infty}frac{n^{2}+1}{2^{n}}$之和.
6.求原点到曲线$displaystyle egin{cases}
z=x^{2}+y^{2},\
x+y+z=1
end{cases}$的最短距离.
7.求积分$displaystyle int_{arrowvert x arrowvert + arrowvert y arrowvert le 1}left(x^{2}-y^{2}
ight)^{3}dxdy.$
8.求积分$displaystyle ointlimits_{L}frac{y^{2}dx-x^{2}dy}{x^{3}+y^{3}},L:x^{2}+y^{2}=1,$沿逆时针方向.
9.求积分$displaystyle iintlimits_{S}z^{2}dxdy$,其中$S$是椭球面$displaystyle frac{x^{2}}{4}+frac{y^{2}}{9}+frac{z^{2}}{16}=1$,在$displaystyle z>0$的部分,取外法线方向.
二、(16分,每小题8分)判断下列命题是否正确.若正确,给出证明;若不正确,举例说明.
1.函数$f(x)$在$mathbb{R}$上可导,则$f'(x)$在$mathbb{R}$上连续.
2.若$displaystyle limlimits_{x o x_{0} atop y o y_{0}}f(x,y)$存在,则$displaystyle limlimits_{x o x_{0}}f(x,y)$和$displaystyle limlimits_{y o y_{0}}f(x,y)$都存在.
三、(10分)设$f(x)$在$displaystyle[ 0,+infty)$上导数有界,且$displaystyleint_{0}^{+infty}f(x)dx$收敛,证明:$displaystylelimlimits_{x o +infty}f(x)=0.$
四、(10分) 设$displaystyle a>0,b>0$,证明:$displaystyle frac{a^{n}+b^{n}}{2} ge left( frac{a+b}{2} ight)^{n}.$
五、(12分) $displaystyle f(x)$在$displaystyle[ 0,1 ]$可导,且$f(0)=0,f(1)=1$,证明:存在$a,b in (0,1)$使得$displaystyle frac{1}{f'(a)}+frac{1}{f'(b)}=2.$
六、(15分) 设$ displaystyle f_{n}(x) $在$[a,b]$上可导,且存在常数$displaystyle M$使得对任意$displaystyle n $和$displaystyle x in [a,b]$有$displaystyle left| f'(x) ight| le M $,
证明:如果对任意$displaystyle x in [a,b]$数列$ displaystyle { f_{n}(x) }$收敛,则函数列$displaystyle { f_{n}(x) }$在$displaystyle [a,b]$上一致收敛.
七、(15分) 设$f(x)$在$(0,1)$连续,且$(0,1)$中两序列$leftlbrace a_{n}
ight
brace ,leftlbrace b_{n}
ight
brace $使得
$$
limlimits_{n o +infty }f(a_{n})=a<b=limlimits_{n o +infty}f(b_{n}).
$$证明:对任意$cin left( a,b
ight) ,(0,1)$中存在序列$leftlbrace c_{n}
ight
brace $使得$limlimits_{n o +infty}f(c_{n})=c$.