[翻译转载]离散数学教程--命题逻辑,谓词逻辑和推理规则

Discrete Mathematics

命题逻辑

数理逻辑的规则指定了如何判断一个数学语句的正确性. 古希腊哲学家,亚里士多德是数理逻辑的先驱. 数理逻辑为数学和计算机科学的许多领域提供了理论的基础. 它在计算机科学领域中也有着许多实际的应用,如计算器,人工智能,编程语言中数据结构的定义等等.

命题逻辑关注与陈述中的真值,"true"和"false"(下文作真,假). 它的目的是分析这些独立的陈述或复合的语句.

定理

命题逻辑是一系列陈述语句,取值只能为真/假,叫做命题的真值. 它包含了命题变量和逻辑连词. 我们将命题变量记做大写字母(A,B, 等.), 连结词连接这些命题变量

下面是一些命题的例子:

• "男人是人", 真值为真
• "12+9 = 3-2", 真值为假

下面的例子不是一个命题:

• "A 小于 2", 除非我们给出A的特定值,否则无法确定语句的真值

逻辑连词

命题逻辑中通常有5种连词

• OR((lor)) 或
• AND((land)) 与
• NOT((lnot)) 否
• if-then(( ightarrow)) 蕴含/如果那么
• if and only if((Leftrightarrow)) 等价/当且仅当

(或(lor)) - 或运算作用在两个命题A,B上(写作 (Alor B)) 当A,B中的至少一个为真时为真.

真值表如下-

A	B	(Alor B)
真	真	真
假	真	真
真	假	真
假	假	假

(与(land)) - 与运算作用在两个命题A,B上(写作 (Aland B)) 当A,B同为真时为真.

真值表如下-

A	B	(Aland B)
真	真	真
假	真	假
真	假	假
假	假	假

(否(lnot)) - 否运算作用在命题A上(写作 (lnot A)) 当A为真时为假,当A为假时为真.

真值表如下-

A	(lnot A)
真	假
假	真

(蕴含( ightarrow)) - 命题"如果A, 那么B" 表示为蕴含式 (A ightarrow B), 当A为真B为假时为假,其他情况都为真.

A	B	(A ightarrow B)
真	真	真
真	假	假
假	真	真
假	假	真

(等价(Leftrightarrow)) - (A Leftrightarrow B), 是一个双向的逻辑连词, 当A,B取值相同时为真, 如A,B同时位假时为真

A	B	(ALeftrightarrow B)
真	真	真
真	假	假
假	真	假
假	假	真

重言式/永真式

重言式是一种无论命题变量取值如何真值都为真的公式.

例: 证明 ([(Aleftarrow B)land A] leftarrow B) 是重言式

真值表如下

A	B	(Aleftarrow B)	((Aleftarrow B)land A)	([(Aleftarrow B)land A] leftarrow B)
真	真	真	真	真
真	假	假	假	真
假	真	真	假	真
假	假	真	假	真

因为([(Aleftarrow B)land A] leftarrow B) 的所有取值都为真,所以为重言式

矛盾式/永假式

矛盾式是一种无论命题变量取值如何真值都为假的公式.

例: 证明 ((A lor B) land [(lnot A) land (lnot B)]) 是矛盾式

真值表如下

A	B	(Alor B)	(lnot A)	(lnot B)	((lnot A) land (lnot B))	((A lor B) land [(lnot A) land (lnot B)])
真	真	真	假	假	假	假
真	假	真	假	真	假	假
假	真	真	真	假	假	假
假	假	假	真	真	真	假

因为((A lor B) land [(lnot A) land (lnot B)]) 的所有取值都为假,所以为矛盾式

偶然式(Contingency)

偶然式是一种在逻辑变量的所有取值中,一些真值为真一些真值为假的公式.

例: 证明 ((A lor B) land (lnot A)) 是矛盾式

真值表如下

A	B	(Alor B)	(lnot A)	((A lor B) land (lnot A))
真	真	真	假	假
真	假	真	假	假
假	真	真	真	真
假	假	假	真	假

因为((A lor B) land (lnot A)) 的取值既包含真也包含假,所以为偶然式

逻辑等价

当下面两种情况成立时, 陈述X和Y被认为是等价的

• 两个陈述的真值表有相同的真值
• 双条件陈述 (X Leftrightarrow Y) 是永真式

例: 证 (lnot(A lor B) and [(lnot A) land (lnot B)]) 是等价的

用第一种方法测试(比较真值表)

A	B	(Alor B)	(lnot(A lor B))	(lnot A)	(lnot B)	([(lnot A) land (lnot B)])
真	真	真	假	假	假	假
真	假	真	假	假	真	假
假	真	真	假	真	假	假
假	假	假	真	假	假	真

(lnot(A lor B) and [(lnot A) land (lnot B)])的真值表相同,因此陈述是等价的

用第二种方法测试(双向条件)

A	B	(lnot (A lor B))	([(lnot A) land (lnot B)])	(lnot(A lor B) Leftrightarrow [(lnot A) land (lnot B)])
真	真	假	假	真
真	假	假	假	真
假	真	假	假	真
假	假	真	真	真

(lnot(A lor B) Leftrightarrow [(lnot A) land (lnot B)])是永真式,因此陈述是等价的

否命题,逆命题和逆否命题

蕴含( ightarrow) 也被叫做条件陈述, 它包含两个部分

• 假设,p
• 结论,q

就像之前说过的, 它被记做(p ightarrow q)

条件陈述的例子 - "如果你做了作业,你就不会被惩罚",中"你做作业"是假设p,"你不会被惩罚"是结论q

否命题 - 条件陈述的否命题是将假设和结论中的陈述同时取反, 如果陈述是(如果p, 那么q), 否命题就是 "如果非p,那么非q". 因此(p ightarrow q) 的否命题是 (lnot p ightarrow lnot q)

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的否命题是"如果你不做作业,你就会被惩罚"

逆命题 - 条件陈述的逆命题是将原陈述的假设和结论交换, 如果陈述是(如果p, 那么q), 逆命题就是 "如果q,那么p". 因此(p ightarrow q) 的逆命题是 (q ightarrow p)

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆命题是"如果你没有被惩罚,你做了你的作业"

逆否命题 - 条件陈述的逆否命题是将原陈述的假设和结论取非后交换, 如果陈述是(如果p, 那么q), 逆命题就是 "如果非q,那么非p". 因此(p ightarrow q) 的逆命题是 (lnot q ightarrow lnot p)

例: "如果你做了作业,你就不会被惩罚"的逆否命题是"如果你被惩罚了,那么你没有做你的作业"

对偶原则

对偶原则是当陈述为真时,将其中的交集换成补集,补集换成交集,全集换成空集,空集换成全集,得到它的对偶陈述, 那么它的对偶陈述也为真. 如果一个陈述的对偶陈述为本身,那么他就是对称陈述.

例: ((A cap B) cup C) 的对偶是 ((A cup B) cap C)

逻辑范式

我们可将所有命题转换为两种标准形式

• 合取范式
• 析取范式

合取范式

如果复合陈述中所有的或操作(包括非运算)都由与来连接,则被称为合取范式. 在集合中,复合陈述中的并集要通过交集来连接.

例:

• ((A lor B) land (A lor C) land (B lor C lor D))
• ((P cup Q) cap (Q cup R))

析取范式

如果复合陈述中所有的与操作(包括非运算)都由或来连接,则被称为析取范式. 在集合中,复合陈述中的交集要通过并集来连接.

例:

• ((A land B) lor (A land C) lor (B land C land D))
• ((P cap Q) cup (Q cap R))

谓词逻辑

谓词逻辑处理谓词, 谓词是包含变量的命题.

定义

谓词是一个或多个定义在特定域中的变量表达式. 一个带有变量的命题可以通过为变量赋值或量化变量来变成命题.

下面是一些谓词的例子

• 设E(x,y), 表示"x=y"
• 设X(a,b,c), 表示"a+b+c=0"
• 设M(x,y), 表示"x嫁给了y"

合式公式

命题下面的条件就被叫做合式公式(wwf)

• 所有的命题变量和命题常量都是合式公式
• 如果x是一个变量Y是一个合式公式, (forall x Y) 和 (exists x Y) 也是合式公式
• 真和假是合式公式
• 所有原子公式是合式公式
• 由连接词连接的合式公式也是合式公式

量词

谓词中的变量由量词来量化, 谓词逻辑中的量词有两种-全称量词和存在量词

全称量词

全称量词描述了在特定域中不论特定变量取何值陈述都为真, 符号表示为(forall)

(forall x P(x)) 读作对于x的任意取值,P(x)都为真

例: "男人是人"可以被写成谓词形式 (forall x P(x)), 其中P(x)是谓词表示x是人, 并且论述的全集是男人集合.

存在量词

存在量词描述了在特定域中特定变量有取值使得陈述都真, 符号表示为(exists)

(exists x P(x)) 读作对于x的某些取值,P(x)都为真

例: "有些人不诚实" 可以被写成谓词形式 (exists x P(x)), 其中P(x)是谓词表示x不诚实, 并且论述的全集是某些人的集合.

嵌套量词

如果在一个量词的域内使用了另一个量词, 则叫做嵌套量词

例:

• (forall a exists b P(x,y) quad 其中 P(a,b) 表示 quad a+b=0)
• (forall a forall b forall c P(a,b,c) quad 其中 P(a,b,c) 表示 quad a+(b+c)=(a+b)+c)

注意: (forall a exists b P(x,y) e exists a forall b P(x,y))

推理规则

为了从已知真值的陈述推论出新的陈述的真值需要使用推理规则

推理逻辑做什么?

数理逻辑通常用来做逻辑证明, 证明是决定数学陈述的真值的有效推论

推论是一系列的陈述, 最后一个陈述是前面所有陈述语句的结论,前面的陈述叫做前提或假设. 将符号( herefore)(因此)放在结论前. 一个有效的推论是从前面所有前提的真值中正确推理出的. 推理规则提供了从已知陈述构建出有效推论的模板和大纲

推理规则表

推理规则	名字	推理规则	名字
(egin{matrix} P \ hline herefore P lor Q end{matrix})	析取引入	(egin{matrix} P lor Q \ lnot P \ hline herefore Q end{matrix})	析取消去/析取三段论
(egin{matrix} P \ Q \ hline herefore P land Qend{matrix})	合取引入	(egin{matrix} P ightarrow Q \ Q ightarrow R \ hline herefore P ightarrow Rend{matrix})	假言三段论
(egin{matrix} P land Q \ hline herefore P end{matrix})	合取简化	(egin{matrix} (P ightarrow Q) land (R ightarrow S) \ P lor R \ hline herefore Q lor S end{matrix})	二难论证复杂构成式/构造性二难
(egin{matrix} P ightarrow Q \ P \ hline herefore Q end{matrix})	分离论证	(egin{matrix} (P ightarrow Q) land (R ightarrow S) \ lnot Q lor lnot S \ hline herefore lnot P lor lnot R end{matrix})	二难论证复杂破坏式/破坏性二难
(egin{matrix} P ightarrow Q \ lnot Q \ hline herefore lnot P end{matrix})	逆分离论证

析取引入

将P作为前提,我们可以析取引入(P lor Q)

[egin{matrix} P \ hline herefore P lor Q end{matrix} ]

例: 设命题P"他学习很努力"为真.
因此 - "要么他学习很努力要么他是一个坏学生". 其中Q是命题"他是一个坏学生"

合取引入

如果P和Q作为前提, 我们可以合取引入 (P land Q)

[egin{matrix} P \ Q \ hline herefore P land Qend{matrix} ]

例: 设P-"他学习很努力", Q-"他是班级里最好的人"
因此 - "他学习很努力,也是班级中最好的人"

合取简化

让(P land Q 作为前提), 可以合取简化出P

[egin{matrix} P land Q \ hline herefore P end{matrix} ]

例: "他学习很努力,也是班级中最好的人", (P land Q)
因此 - "他学习很努力"

分离论证

如有P和(P ightarrow Q) 两个前提, 我们可以分离论证出Q

[egin{matrix} P ightarrow Q \ P \ hline herefore Q end{matrix} ]

例: "如果你有密码,你就可以登录qq", (P ightarrow Q)
"你有密码", P
因此 - "你可以登录qq"

逆分离论证

如有(P ightarrow Q 和 lnot Q) 两个前提, 我们可以逆分离论证出 (lnot P)

[egin{matrix} P ightarrow Q \ lnot Q \ hline herefore lnot P end{matrix} ]

例: "如果你有密码,你就可以登录qq",(P ightarrow Q)
"你没法登录进QQ", (lnot Q)
因此 - "你没有密码"

析取消去/析取三段论

如有(lnot P 和 P lor Q) 两个前提, 我们可以析取消去出 (Q)

[egin{matrix} P lor Q \ lnot P \ hline herefore Q end{matrix} ]

例: "冰淇淋不是草莓味的", (lnot P)
"冰淇淋要么是草莓味要么是巧克力味" (P lor Q)
因此 - "冰淇淋是巧克力味的"

假言三段论

如有(P ightarrow Q 和 Q ightarrow R) 两个前提, 根据假言三段论可得 (P ightarrow R)

[egin{matrix} P ightarrow Q \ Q ightarrow R \ hline herefore P ightarrow Rend{matrix} ]

例: "如果下雨我就不去学校了", (P ightarrow Q)
"如果我不去学校我就不用做作业" (Q ightarrow R)
因此 - "如果下雨我就不用做作业了"

构造性二难

如有((P ightarrow Q) land (R ightarrow S) 和 P lor R) 两个前提, 根据构造性二难可得 (Q lor S)

[egin{matrix} (P ightarrow Q) land (R ightarrow S) \ P lor R \ hline herefore Q lor S end{matrix} ]

例: "如果下雨我就休息一下", (P ightarrow Q)
"如果外面很热我就洗个澡" (R ightarrow S)
"外面要么下雨要么很热" (P lor R)
因此 - "我要么休息一下要么洗个澡"

破坏性二难

如有((P ightarrow Q) land (R ightarrow S) 和 lnot Q lor lnot S) 两个前提, 根据构造性二难可得 (lnot P lor lnot R)

[egin{matrix} (P ightarrow Q) land (R ightarrow S) \ lnot Q lor lnot S \ hline herefore lnot P lor lnot R end{matrix} ]

例: "如果下雨我就休息一下", (P ightarrow Q)
"如果外面很热我就洗个澡" (R ightarrow S)
"要么我不会休息,要么我不去洗澡" (lnot Q lor lnot S)
因此 - "外面要么没有下雨,要么不是很热"

原博文地址
https://www.tutorialspoint.com/discrete_mathematics/index.htm