[AH2017/HNOI2017] 礼物 解题报告 (FFT)

题目链接：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3723

题目：

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手环，一个留给自己，一个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。

但是在她生日的前一天，我的室友突然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，但是由于上面装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。

在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号1,2,…,n，其中 n 为每个手环的装饰物个数， 第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)：

$sum_{i=1}^{n} (x_i-y_i)^2$

麻烦你帮他计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小，这个最小值是多少呢？

题解：

差异值=$sum_{i=1}^{n}(a_i+x-b_i)^2$

$sum_{i=1}^na_i^2+sum_{i=1}^{n}b_i^2+nx^2+2x(sum_{i=1}{n}a_i-sum_{i=1}{n}b_i)-2sum_{i=1}^{n}a_ib_i$

我们枚举$x(-m<=x<=m)$，发现除了最后一项都是定值

那么我们另最后一项最大即可

由于$a$,$b$其实都是可以旋转的，那么我们把$a$倍长

末项$=sum_{i=x}^{n+x-1}a_ib_{i-x+1}$

再按照套路把$b$反向,$b_i=b_{n-i+1}$

末项$=sum_{i=x}^{n-x+1}a_ib_{n-i+x}$

$=sum_{i=1}^{n}a_{i-1+x}b_{n-i+1}$

这显然是一个卷积的形式，即把$a$与$b$卷起来的第$n+x$项

 代码：

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;

const int N=1e6+15;
const ll inf=1e18;
const db pi=acos(-1.0);
int r[N];
struct complex
{
    db x,y;
    complex (db xx=0,db yy=0) {x=xx;y=yy;}
}A[N],B[N];
complex operator + (complex a,complex b) {return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);}
complex operator - (complex a,complex b) {return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);}
complex operator * (complex a,complex b) {return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
inline int read()
{
    char ch=getchar();int s=0,f=1;
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*f;
}
void fft(int limit,complex *a,int type)
{
    for (int i=0;i<limit;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    for (int len=1;len<limit;len<<=1)
    {
        complex wn=complex(cos(pi/len),type*sin(pi/len));
        for (int k=0;k<limit;k+=(len<<1))
        {
            complex w=complex(1,0);
            for (int l=0;l<len;l++,w=w*wn)
            {
                complex Nx=a[k+l],Ny=w*a[k+len+l];
                a[k+l]=Nx+Ny;
                a[k+len+l]=Nx-Ny;
            }
        }
    }
}
int n,m;
int a[N],b[N];
int main()
{
    ll a1=0,b1=0,a2=0,b2=0;
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),a1+=a[i],a2+=a[i]*a[i];
    for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),b1+=b[i],b2+=b[i]*b[i];
    
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        A[i].x=A[i+n].x=a[i];
        B[i].x=b[n-i+1];
    }
    
    int limit=1,l=0;
    while (limit<n+n+n) limit<<=1,++l;
    for (int i=0;i<limit;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    
    fft(limit,A,1);fft(limit,B,1);
    for (int i=0;i<=limit;i++) A[i]=A[i]*B[i];
    fft(limit,A,-1);
    for (int i=0;i<=limit;i++) A[i].x=(ll)(A[i].x/limit+0.5);
    
    
    ll ans=inf;
    for (int x=1;x<=n;x++)    
        for (int z=-m;z<=m;z++)
            ans=min(ans,a2+b2+n*z*z+2ll*z*(a1-b1)-2ll*(ll)A[x+n].x);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}